5.1.1 第1课时 数列的概念-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第五章 数列 　▶导语:本单元的学习,可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析,了解数列的概念,探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律,建立通项公式和前n项和公式,能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题,感受数学模型的现实意义与应用,了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的联系,感受数列与函数的共性与差异,体会数学的整体性。 要点精准概括 7个重要概念:数列、数列的通项公式、数列的递推公式、等差数列、等差中项、等比数列、等比中项 4个重要公式:等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式 4种重要关系:数列与函数、等差数列与一次函数、等比数列与指数函数、数列的前n项和与通项 5.1　数列基础 5.1.1　数列的概念 　　 冬季奥运会每四年举办一次。第17届冬季奥运会是在1994年举办的, 2022年举办了北京冬奥会,那么北京冬奥会是第多少届?经过列举得到一列数:1 994,1 998,2 002,2 006,2 010,2 014,2 018,2 022。显然北京冬奥会是第24届冬奥会,这就是今天我们要学习的数列。 1.理解数列及其有关概念; 2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项; 3.对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式; 4.了解数列与函数的关系,会根据数列的前几项写出它的通项公式; 5.能利用函数的性质解决数列的相关问题。 第1课时　数列的概念 　 知识点一、数列的相关概念 1.按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数都称为这个数列的项。各项依次称为这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n项,…。 2.组成数列的数的个数称为数列的项数。 3.一般地,项数有限的数列称为有穷数列,有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的末项。 4.一般地,项数无限的数列称为无穷数列。 知识点二、数列的通项 1.数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,其中an表示数列的第n项(也称n为an的序号,其中n为正整数,即n∈N+),称为数列的通项。一般将整个数列简记为{an}。 2.一般地,如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an=f (n)来表示,其中f (n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式。 微提醒 　　不是所有数列都能写出通项公式,若数列有通项公式,通项公式表达式不一定唯一。 微思考 　　数列2,3,4与数列2,4,3是同一个数列吗? 提示:不是。顺序不一样。 类型一 数列的概念 　　【例1】　下列叙述正确的是 (B) A.数列2,4,6,8和数列4,2,6,8是同一个数列 B.同一个数在数列中可能重复出现 C.数列是按一定顺序排列的有规律的一列数 D.数列的通项公式是唯一的 解析　根据数列的定义,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列,A错误;数列中的数的排列不一定有规律,C错误;数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,也可以写成an=(-1)n+2,还可以写成分段函数的形式,D错误;数列中的数可以重复出现。故选B。 　　运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤 (1)判断这组元素是否都是数。 (2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列。 注意:按一定顺序不表示该数列具有规律性,即数列中的每一项可以是有规律的,也可以是无规律的。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【变式训练】　下列数列中,为无穷数列的是 (C) A.1,,, B.-1,-2,-3,-4 C.-1,-,-,-,… D.1,,,…, 解析　A,B,D是有穷数列,只有C符合题意。 类型二 利用数列的前几项求通项公式 　　【例2】　根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…; (2),2,,8,,…; (3)0.8,0.88,0.888,…; (4),,-,,-,,…; (5),1,,,…。 解　(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5)。 (2)统一分母为2,则有,,,,,…,因而有an=。 (3)将数列变形为(1-0.1),(1-0.01),(1-0.001),…,所以an=。 (4)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3。因此把第1项变为-,至此原数列可化为-,,-,,…,所以an=(-1)n·。 (5)将数列统一为,,,,…,对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn