8.3 列联表与独立性检验-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版）

8.3　列联表与独立性检验 　　有关法律规定:香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语,那么吸烟和健康之间有因果关系吗?每一个吸烟者的健康问题都是由吸烟引起的吗?“如果你认为健康问题不一定是由吸烟引起的,那么可以吸烟”的说法对吗?要回答这个问题,我们先一起来学习本课时的知识吧! 1.通过实例,理解2×2列联表的统计意义。 2.通过实例,了解2×2列联表独立性检验及其应用。 1.分类变量与列联表 (1)分类变量:用以区别不同的现象或性质的一种特殊的随机变量,称为分类变量。分类变量的取值可以用实数表示,例如,学生所在的班级可以用1,2,3等表示,男性、女性可以用1,0表示,等等。本节我们主要讨论取值于{0,1}的分类变量的关联性问题。 (2)2×2列联表:在实践中,由于保存原始数据的成本较高,人们经常按研究问题的需要,将数据分类统计,并做成表格加以保存,我们将下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表。 X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d (3)等高堆积条形图:将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来,其中两列的数据分别对应不同的颜色,这就是等高堆积条形图。 等高堆积条形图可以展示列联表数据的频率特征,能够直观地反映出两个分类变量间是否相互影响。 2.独立性检验 (1)零假设:设X和Y为定义在Ω上,取值于{0,1}的成对分类变量。由于{X=0}和{X=1},{Y=0}和{Y=1}都是互为对立事件,故要判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联,需要判断假定关系H0:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)是否成立。通常称H0为零假设或原假设。 (2)χ2的计算公式: χ2=。 (3)χ2独立性检验:利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验。 (4)基于小概率值α的检验规则:当χ2≥xα时,我们推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;当χ2<xα时,我们没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立。(其中xα为α的临界值) χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值。 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (5)应用独立性检验解决实际问题包括的主要环节: ①提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释。 ②根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较。 ③根据检验规则得出推断结论。 ④在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律。 微思考 1.如何用2×2列联表判定两个分类变量是否有关? 提示:比较相应的频率,如通过比较或与或的大小确定。 2.独立性检验与反证法有何异同? 提示:两者都是先假设结论不成立,然后根据是否能够推出“矛盾”来断定结论是否成立,但二者“矛盾”的含义不同,反证法中的“矛盾”是指一种不符合逻辑事情的发生;而独立性检验中的“矛盾”是指一种不符合逻辑的小概率事件的发生,即在结论不成立的假设下,推出有利于结论成立的小概率事件发生。 3.若有99%以上的把握认为吸烟与患肺癌有关,则对一个吸烟的人,他患肺癌的概率就是99%,对吗? 提示:错误。有多大的把握只是说两个变量有关联,并不是事件发生的概率。 类型一 列联表与等高堆积条形图 　　【例1】　某学校对高三学生作了一项调查发现:在平时的模拟考试中,性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张,性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张。 (1)根据以上数据,作出考前心情与性格的列联表,并求性格外向的学生中考前心情紧张的概率; (2)作出等高堆积条形图,利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系。 解　(1)作列联表如下: 考前心情 性格 合计 性格内向 性格外向 考前心情紧张 332 213 545 考前心情不紧张 94 381 475 合计 426 594 1 020 由列联表中数据可得,性格外向的学生中考前心情紧张的概率为=。 (2)相应的等高堆积条形图如图所示: 图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的人数所占的比例,从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向的人数占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向的人数占的比例高,可以认为考前心情紧张与性格类型有关。 (1)利用2×2列联表分析两变量间关系的步骤: ①根据题中数据获得2×2列联表。 ②根据频率特征,即将与或与的值相比,直