8.1 成对数据的统计相关性-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版）

第八章 成对数据的统计分析 　　▶导语:成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2×2列联表与独立性检验,这些知识与方法在解决实际问题中非常有用。可以发现,两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行分析;利用一元线性回归模型可以研究变量之间的随机关系进行预测;利用2×2列联表可以检验两个随机变量的独立性。通过本章的学习,可以提高我们解决实际问题的能力,提升我们数据分析、数学建模的核心素养。 要点精准概括 2个统计案例:一元线性回归模型、独立性检验 7个统计概念:相关关系、样本点的中心 、随机误差、残差、经验回归方程、2×2列联表、独立性检验 3种统计图:散点图、残差图、等高堆积条形图 4个统计数据:样本相关系数r、残差平方和(yi-)2、决定系数R2、独立性检验的随机变量χ2 2组公式:最小二乘估计 随机变量χ2=(n=a+b+c+d) 4个关键能力:数据分析能力、运算求解能力、逻辑推理能力、数学建模能力 8.1　成对数据的统计相关性 　　有这样一种说法:“如果你的数学成绩好,那么你的物理学习就不会有什么大问题。”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系。我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量。这两个变量之间的关系是函数关系吗? 1.结合实例,了解样本相关系数的统计含义,了解样本相关系数与“标准化”处理后的成对数据的关系。 2.结合实例,会通过样本相关系数比较多组成对数据的相关性。 1.变量的相关关系 (1)相关关系:两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系。 (2)散点图:把成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来,由这些点组成的统计图叫做散点图。 (3)正相关与负相关。 ①正相关:如果从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关; ②负相关:如果从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势,我们就称这两个变量负相关。 (4)线性相关与非线性相关(或曲线相关)。 ①线性相关:一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关; ②非线性相关(或曲线相关):一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关。 2.样本相关系数 对于变量x和变量y,设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn的均值分别为和,则 r=。 我们称r为变量x和变量y的样本相关系数。 微提醒 样本相关系数r的性质 (1)当r>0时,称成对样本数据正相关;当r<0时,称成对样本数据负相关。 (2)当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强;当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱。 (3)样本相关系数r的取值范围为[-1,1]。 微思考 1.若两个变量具有相关关系,那么这两个变量一定具有函数关系吗? 提示:不一定,若两个变量具有相关关系,但关系不是确定性关系时,则这两个变量不具有函数关系。 2.能否说“r越大,两个变量的相关性越强;r越小,两个变量的相关性越弱”? 提示:不能。|r|越大,两个变量的线性相关程度越强;|r|越小,两个变量的线性相关程度越弱。 3.样本相关系数r=0与r=1表示什么? 提示:当r=0时,只表明成对样本数据间没有线性相关关系,但不排除它们之间有其他相关关系。r=1时,表示成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系。 类型一 相关关系的判断 　　命题方向1:由定义判断相关关系 　　【例1】　判断在下列各变量之间,是否存在相关关系。 (1)正方体的体积与棱长之间的关系; (2)一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系; (3)人的身高与年龄之间的关系; (4)房屋面积与房屋价格之间的关系。 解　(1)正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系,不是相关关系。 (2)一定范围内,一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系,是相关关系。 (3)一定年龄段内,人的身高与年龄之间的关系,是相关关系。 (4)房屋面积与房屋价格是函数关系,不是相关关系。 由定义判断相关关系主要是根据积累的经验判断两个变量存在非确定性的伴随关系,即一个变量的变化对另一个变量的变化有着非确定性的影响。 【变式训练】　(多选)下列关系是相关关系的是 (BC) A.曲线上的点与该点的坐标之间的关系 B.苹果的产量与气候之间的关系 C.森林中同一种树木,其横截面直径与高度之间的关系 D.正方形面积与边长的关系 解析　A,D是函数关系,B,C是相关关系。 命题方向2:由散点图判断相关关系 　　【例2】　某种木材体积与树木