6.3.2 二项式系数的性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版）

6.3.2　二项式系数的性质 　杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一,它的发现远早于法国数学家帕斯卡的发现。杨辉三角和勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就,显示了我国古代人民的卓越智慧和才能。 1.掌握二项式系数的性质,并会解决简单的问题。 2.掌握赋值法,并会熟练运用。 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。事实上,这一性质可直接由=得到。直线r=将函数f (r)=的图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴。 2.增减性与最大值 (1)当k<时,随k的增加而增大;当k>时,随k的增加而减小。 (2)当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值。 3.各二项式系数的和 (1)+++…+=2n。 (2)+++…=+++…=2n-1。 微提醒 (1)二项式系数的增减性源于以下认识:因为===,所以,当>1,即k<时,>;当<1,即k>时,<。 (2)对于2n=+++…+,也可以从集合的角度解释。设A是含有n个元素的集合,求A的子集个数时,可以按照子集中含有元素的个数进行分类:没有元素的子集(即空集)有个,含1个元素的子集有个,含2个元素的子集有个,…,含n个元素的子集有个,故所有子集的个数为+++…+=2n。 微思考 1.二项展开式中系数最大项就是二项式系数的最大项,对吗? 提示:不正确。系数不同于二项式系数。 2.什么时候二项式系数最大? 提示:当n为偶数时,展开式有奇数项,正中间一项的二项式系数最大,即为;当n为奇数时,展开式有偶数项,中间两项的二项式系数同时最大,即为=。 3.++…+=2n,对吗? 提示:不正确,++…+=2n-=2n-1。 类型一 杨辉三角 　　【例1】　(1)在(a+b)n的二项展开式中,与第k项的二项式系数相同的项是 (D) A.第n-k项 B.第n-k-1项 C.第n-k+1项 D.第n-k+2项 解析　第k项的二项式系数是,由于=,故第n-k+2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同。 (2)观察图中的数所成的规律,则a所表示的数是 (B) 1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　a　4　1 1　5　10　10　5　1 A.8 B.6 C.4 D.2 解析　由题图知,下一行的数是其肩上两数的和,所以4+a=10,得a=6。 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)观察:对题目要横看、竖看、隔行看、连续看,多角度观察。 (2)找规律:通过观察找出每一行的数之间,行与行之间的数据的规律。 (3)将数据间的这种联系用数学式表达出来,使问题得解。 【变式训练】　如下图,它满足:①第n行首尾两数均为n;②表中的递推关系类似杨辉三角,则第n行(n≥2)第二个数是多少? 解　设第n行第2个数为an(n≥2), 则所以an+1-an=n(n≥2)。 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2=2+2+3+4+…+(n-1)=1+=(n≥2)。 类型二 赋值法的应用 　　【例2】　已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7。 求:(1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|。 解　令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1,① 令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37,② (1)因为a0==1,所以a1+a2+a3+…+a7=-2。 (2)由(①-②)÷2,得a1+a3+a5+a7==-1 094。 (3)由(①+②)÷2,得a0+a2+a4+a6==1 093。 (4)(1-2x)7的展开式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1 093+1 094=2 187。 (1)赋值法是求二项展开式系数和问题常用的方法,注意取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解决问题时要避免漏项等情况。 (2)一般地,二项式展开式f (x)的各项系数的和为f (1),奇次项系数和为[f (1)-f (-1)],偶次项系数和为[f (1)+f (-1)]。 【变式训练】　(1)若(1+x)(1-2x)8=a0+a1x+…+a9x9,x∈R,则a1·2+a2·22+…+a9·29的值为 (D) A.29 B.29-1 C.39 D.39-1 解析　令x=0,则a0=1,令x=2,则a0+2a1+22a2+…+29a9=39,所以2a1+22a2+…+29a9=39-1。故选D。 (2)