6.3.1 二项式定理-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版）

6.3　二项式定理 6.3.1　二项式定理 　　艾萨克·牛顿(1643—1727),英国科学家。他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他不仅是一位物理学家、天文学家,还是一位伟大的数学家。1664年冬,由于瘟疫流行,牛顿从剑桥回到乡下,研读沃利斯博士的《无穷算术》,开始了对二项式定理的研究,并最终建立了二项式定理。牛顿是如何思考的呢? 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理。 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 1.二项式定理 二项式定理 (a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn(n∈N*) 二项展开式 an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn 二项式系数 (k=0,1,2,…,n) 二项展开式的通项 Tk+1=an-kbk 特别地 (1+x)n=+x+x2+…+xk+…+xn 2.二项展开式的特点 (1)展开式共有n+1项。 (2)各项中a,b的次数和都等于二项式的幂指数n。 (3)字母a的幂指数按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到为0,字母b的幂指数按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项加1直到为n。 微思考 1.二项展开式中的项an-rbr是第几项? 提示:an-rbr是(a+b)n的展开式的第r+1项。 2.二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式的第k+1项有什么区别? 提示:(a+b)n的展开式的第k+1项是an-kbk,(b+a)n的展开式的第k+1项是bn-kak。 3.二项式系数与系数相同吗? 提示:不相同,例如(1+2x)n的二项式系数为(r=0,1,2,…,n),而系数为2r(r=0,1,2,3,…,n)。 类型一 二项式定理的正用、逆用 　　【例1】　(1)求的展开式。 解　= (3)4+(3)3+(3)2 +(3)+ =81x2+108x+54++。 (2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)。 解　原式=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+·(x-1)0-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1。 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂。形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况。 【变式训练】　(1)若f (x)=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+4,则f (2 020)-f (-2 020)的值为 0 。  解析　根据f (x)的解析式,逆用二项式定理,得f (x)=[(x-1)+1]4+3=x4+3。显然f (-x)=f (x),即f (x)为偶函数,所以f (2 020)-f (-2 020)=0。 (2)求-4的展开式。 解　-4=()4-()3·+()2·2-3+4=x2-2x+-+。 类型二 二项式系数与项的系数 　　命题方向1:求展开式的特定项　 　　【例2】　在-n的展开式中,第6项为常数项。 (1)求n; (2)求含x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项。 解　Tk+1=·()n-k·-k=·()n-k·-k=-k··。 (1)因为第6项为常数项,所以k=5时,有=0, 所以n=10。 (2)令=2,得k=2,所以所求的系数为-2=。 (3)根据通项,由题意,得令=m(m∈Z),则10-2k=3m,即k==5-m。因为0≤k≤10,所以0≤5-m≤10,所以-≤m≤,又因为m应为偶数,所以m可取2,0,-2,所以k=2,5,8,所以第3项、第6项与第9项为有理项。它们分别为-2·x2,-5,-8·x-2,即x2,-和。 求二项展开式特定项的步骤 【变式训练】　若x+n的展开式中的前3项系数成等差数列,则展开式中的常数项是  。  解析　展开式的通项为Tr+1=rxn-2r,前3项的系数为1,,,所以n=1+,解得n=8或n=1(舍去)。所以展开式的通项为Tr+1=rx8-2r,令8-2r=0,得r=4。所以展开式的常数项为4×=。 　　命题方向2:求展开式的系数与二项式系数 　　【例3】　(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; (2)求的展开式中x3的系数。 解　(1)的展开式中第6项的二项式系数为=6;二项式的展开式中的第6项为×(2) ×=-12,系数是-12。 (2)的展开式的通项为Tr+1=x9-r-r=(-1)rx9-2r。根据题意令9-2r=3,解得r=3,所以x3的系数为(-1)3=-84。 正确区分二项式系数与该项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式,二项式的指数及项数均有关。 【变式训练】