6.2.4 组合数-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版）

6.2.4　组合数 　　小明五一到某城旅游,要从景点A,B,C,D中选择2处游玩,上午选1处,下午选1处,有多少种不同的旅游方案?如果仅从景点A,B,C,D中选择2处,又有多少种不同的旅游方案呢?这就是今天我们所要学习的组合数问题。 1.能利用排列数公式推导组合数公式,并会应用组合数公式进行计算。 2.能运用组合数的概念及公式解决一些实际应用问题。 1.组合数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示。 2.组合数公式与性质 (1)组合数公式。 组合数 公式 乘积 形式 ==,其中m,n∈N*,并且m≤n 阶乘 形式 = 规定:=1。 (2)组合数的性质。 性质1:=。 性质2:=+。 3.常见的两类组合问题的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取。 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解。用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理。 4.组合应用题的解法 (1)无限制条件的组合应用题的解法步骤:一、判断;二、转化;三、求值;四、作答。 (2)有限制条件的组合应用题的解法。 常用解法有:直接法、间接法。可将条件视为特殊元素或特殊位置,一般地按从不同位置选取元素的顺序分步,或按从同一位置选取的元素个数的多少分类。 微思考 1.组合数与组合的区别是什么? 提示:“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个正整数;而一个“组合”是指具体的一件事。 2.组合数的两个性质的作用是什么? 提示:第一个性质中,若m>,通常不直接计算,而改为计算,这样可以减少计算量;第二个性质是根据需要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数,在解题中要注意灵活运用。 类型一 组合数的应用 　　命题方向1:利用组合数公式计算 　　【例1】　(1)式子可表示为 (D) A. B. C.101 D.101 解析　分式的分母是100!,分子是101个连续自然数的乘积,最大的为n+100,最小的为n,故= 101·=101。 (2)计算:+= 5或16 。  解析　由组合数定义知所以4≤n≤5,又因为n∈N*,所以n=4或n=5。当n=4时,+=+=5;当n=5时,+=+=16。 (1)公式==(m,n∈N*,且m≤n),一般用于求值计算。 (2)公式=(m,n∈N*,且m≤n),一般用于化简证明。在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择。 【变式训练】　(1)求值:3-2。 解　3-2=3×-2×=148。 (2)证明:m=n。 证明　因为左边=m·==n·=n=右边,所以m=n。 　　命题方向2:组合数性质的应用 　　【例2】　(1)计算+++…+的值为 (C) A. B. C.-1 D.-1 解析　+++…+=++++…+-=++…+-1=…=+-1=-1。 (2)若=,则x的值为 2或4 。  解析　由=得2x-1=x+3或2x-1+x+3=8,解得x=4或x=2。经检验x=4或x=2符合题意。 (3)求证:=+2+。 证明　由组合数的性质=+可知, 右边=(+)+(+)=+==左边,所以原式成立。 (1)性质“=”的意义及作用。 (2)组合数的性质2主要用于计算或化简多个组合数连加,此时往往需要先用性质1进行适当的转化,使得有两个组合数为下标相同,上标差1的形式,再反复运用性质2即可化成最简形式。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　【变式训练】　(1)(多选)+等于 (BD) A. B. C. D. 解析　由组合数的性质得+==。故选BD。 (2)方程=的解集为 (C) A.{4} B.{14} C.{4,6} D.{14,2} 解析　因为=,所以x=2x-4或x+2x-4=14,所以x=4或x=6,经检验知x=4或x=6符合题意,故方程=的解集为{4,6}。故选C。 (3)计算:+++…+。 解　原式=++…+ =(++…+)· =(++++…+-)· =(+++…+-)· =(++…+-)· =(-)· =(-1)· =2-2 =333 298。 类型二 简单的组合问题 　　【例3】　课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名队长,现从中选5人主持某项活动,依下列条件各有多少种选法? (1)至少有一名队长当选; (2)至多有两名女生当选; (3)既要有队长,又要有女生当选。 解　(1)从13