6.2.3 组合-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版）

6.2.3　组合 在某次主题班会上,某班级需要从5名班委中选择3人担任代表上台发言。 (1)若3人发言有顺序,有多少种选择方案? (2)若3人发言无顺序,又有多少种选择方案? 由问题(1)(2),你能发现怎样的关系? 1.通过实例理解组合的概念。 2.会用树状图表示所有的组合。 3.会应用组合的概念解决一些简单的问题。 1.组合的概念 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 2.排列与组合的相同点和不同点 名称 排列 组合 相同点 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素,元素无重复 不同点 (1)排列与顺序有关; (2)两个排列相同,当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 (1)组合与顺序无关; (2)两个组合相同,当且仅当这两个组合的元素完全相同 微提醒 (1)组合要求n个元素是不同的,被取出的m个元素也是不同的。 (2)无序性是组合的特点,取出的m个元素是不讲顺序的,也就是说元素没有位置的要求。 (3)两个组合只要元素相同,无论元素的顺序如何,都是相同的。只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合。 微思考 1.a,b,c与b,c,a是同一个组合吗? 提示:是同一个组合。 2.组合是有放回抽取还是无放回抽取? 提示:是无放回抽取。 类型一 组合的概念 　　【例1】　判断下列问题是排列问题还是组合问题。 (1)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场? (2)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果? (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法? (4)从全班40人中选出3人参加某项活动,有多少种不同的选法? 解　(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题。 (2)冠、亚军是有顺序的,是排列问题。 (3)3人分别担任三个不同职务,有顺序,是排列问题。 (4)3人参加某项相同活动,没有顺序,是组合问题。 区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,而交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关。 【变式训练】　判断下列问题是排列问题还是组合问题。 (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少? (2)某小组有9位同学,从中选出正、副班长各一名,有多少种不同的选法?若从中选出2名代表参加一个会议,有多少种不同的选法? 解　(1)由于集合中的元素是无序的,一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合。这是一个组合问题。 (2)选正、副班长时要考虑顺序,所以是排列问题;选代表参加会议是不用考虑顺序的,所以是组合问题。 类型二 用列举法写出所有的组合 　　【例2】　(1)有4个不同的元素a,b,c,d,写出每次取出2个元素的所有组合; (树状图法)(1)解　画出树状图,如图所示。 由此可以写出所有的组合为ab,ac,ad,bc,bd,cd。 (2)有5个不同的元素A,B,C,D,E,写出每次取出3个元素的所有组合。 解　画出树状图,如图所示。 由此可以写出所有的组合为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE。 由于组合与顺序无关,故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进,且写出的一个组合不可交换位置,如写出ab后,不必再次换位置为ba,因为它们是同一组合,画“树状图”时,应注意各层的排列思路,防止重复或遗漏。 【变式训练】　从6个不同的元素a,b,c,d,e,f 中取出2个,写出所有不同的组合。 解　要想列出所有组合,就要先将元素按照一定顺序排好,然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来,如图所示。 由此可得所有的组合为ab,ac,ad,ae,af ,bc,bd,be,bf ,cd,ce,cf ,de,df ,ef ,共15个。 类型三 组合的简单应用 　　【例3】　在A,B,C,D四位候选人中。 (1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果; (2)如果选举两人负责班级工作,共有几种选法?写出所有可能的选举结果。 解　(1)从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题,有=12(种)选法,所有可能的选举结果:AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC。 (2)从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题,有6种选法,所有可能的选举结果:AB,AC,AD,BC,BD,CD。 (1)解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的