6.2.2 排列数-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版）

6.2.2　排列数 　　经历了6月高考的洗礼,考生们就可以报考自己理想的大学了。大学录取的依据是考生所填写的高考录取志愿表和考生的考分。 大学录取是按批次进行的,每个批次里考生可以选择若干个学校。 假如你在第一批本科院校中比较满意其中的8所学校,在填写第一批院校时只允许填报其中的5所学校,那么有多少种填报院校的方式?这样的排列问题能否用公式表示呢? 1.能利用计数原理推导排列数公式。 2.能运用排列数公式解决简单的实际问题,特别是概率中的某些问题。 1.排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示。 2.排列数公式及全排列 (1)排列数公式的两种形式。 ①=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),其中m,n∈N*,并且m≤n。 ②=。 (2)全排列:把n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列。全排列数公式为=n!(叫做n的阶乘)。规定:0!=1。 3.解决排列问题的一般方法 对于有限制条件的排列问题,先考虑安排特殊元素(或位置),再安排一般的元素(或位置),即先特殊后一般,此方法为直接分步法;也可以按特殊元素当选情况(或特殊位置元素的情况)分类,再安排一般的元素(或位置),即先分类后分步,此方法为直接分类法;还可以先不考虑特殊元素(或位置),而求出所有元素的排列数,再从中减去不满足特殊元素(或位置)要求的排列数,即先全体后排除,此方法为间接法(排除法)。 微提醒 (1)公式=n(n-1)…(n-m+1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程或不等式。在运用该公式时要注意它的特点:从n起连续写出m个数的乘积。 (2)公式=适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等问题。在具体运用时,应注意先提取公因式,再计算,同时还要注意隐含条件“m≤n且m∈N*,n∈N*” 的运用。因此求出方程或不等式的解后要进行检验,把不符合的解舍去。 (3)0!=1,这是一个规定,不能按阶乘的定义解释。 微思考 1.排列与排列数有什么区别? 提示:排列与排列数是两个不同的概念,“排列”是指从n个不同元素中取出m个元素按照一定的顺序排成一列,是一种排法;“排列数”是指从n个不同元素中取出m个元素所得不同排列的个数,是一个数,用表示。注意区分。 2.对于排列公式有什么记忆的规律? 提示:第一个因数是n,后面一个因数比它前面一个因数少1,最后一个因数是n-m+1,共m个因数相乘。 类型一 排列数公式的应用 　　【例1】　计算:(1); (2); (3)若3=2+6,求x。 解　根据排列数公式,可得 (1)=6!=6×5×4×3×2×1=720。 (2)==1。 (3)由3=2+6,得3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1)。因为x≥3且x∈N*,化简整理得,3x2-17x+10=0,解得x=5或x=(舍去),所以x=5。 (1)计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时,要注意先提取公因式化简,然后计算。这样做往往会减少运算量。 (2)连续正整数(因式)的乘积可以写成某个排列数,其中最大的数是排列元素的总个数n,而因式的个数是取出的元素个数m。 【变式训练】　(1)4×5×6×…×(n-1)n等于 (D) A. B. C.(n-4)! D. 解析　从4,5,…到n共n-4+1=n-3个数,所以根据排列数公式知4×5×6×…×(n-1)n=。故选D。 (2)计算:①;②。 解　根据排列数公式,可得 ①==6。 ②原式=·(n-m)!·=·(n-m)!·=1。 类型二 排队问题 　　【例2】　三个女生和五个男生排成一排。 (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法? (5)如果三个女生(甲、乙、丙)从左到右的顺序为甲、乙、丙(不一定相邻),可有多少种不同的排法? 解　(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一起共有六个元素,排成一排有种不同的排法。对于其中的每一种排法,三个女生之间又有种不同的排法,因此共有=4 320(种)不同的排法。 (2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空位,这样共有四个空位,加上两边男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻。由于五个男生排成一排有种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有种排法,因此共有·=14 400