6.2.1 排列-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版）

6.2　排列与组合 6.2.1　排列 日常生活中我们会遇到许多排队问题,如等公交车,银行办理业务等。为了维护公共秩序大家都自觉排队,试问: 1.等公交车时人们自觉排成一队,这是有序问题还是无序问题? 2.甲、乙、丙三名同学等公交车去上学,写出他们所有的排队情况。 为了准确回答这些问题,今天我们就要学习排列的有关知识。 1.理解排列的概念。 2.会用树状图表示所有的排列。 3.应用排列的概念解决一些简单的排列问题。 1.排列的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2.两个排列相同的充要条件 (1)两个排列的元素完全相同; (2)元素的排列顺序也相同。 微提醒 排列中元素所满足的两个特性 (1)无重复性:从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素。 (2)有序性:安排这m个元素时是有顺序的,有序的就是排列,无序的不是排列。而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置,看结果是否发生变化,有变化就是有顺序,无变化就是无顺序。 微思考 1.排列定义中的两个要素是什么? 提示:一是“取出不同的元素”,二是“将元素按一定顺序排列”。 2.每一个排列中元素的位置是确定的吗? 提示:是,元素在排列中的位置不同排列也就不同。 3.同一个排列中,同一个元素能重复出现吗? 提示:由排列的定义知,在同一个排列中不能重复出现同一个元素。 4.a,b,c与b,a,c是同一个排列吗? 提示:不是。 类型一 排列的概念 　　【例1】　判断下列问题是否是排列问题: (1)从2,3,4,5,6,7,8,9中任取两数相乘可得多少个不同的积? (2)一张餐桌上有5盘不同的菜,甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜,共有多少种不同的取法? (3)学校食堂的一个窗口共卖5种菜,甲、乙、丙3名同学每人从中选一种菜,共有多少种不同的选法? (4)一位老师要给4个班轮流做讲座,每个班讲一场,有多少种轮流次序? 解　(1)乘法符合交换律与顺序无关,不是排列问题。 (2)各取一盘菜,跟顺序有关,是排列问题。 (3)各选一种菜,每人都有5种选法,不是排列问题。 (4)讲座分先后,是排列问题。 排列的核心是“顺序”,有“顺序”就是排列问题。那么如何判断是否有顺序呢?最常用的办法是把得到的结果变换元素的位置,如果结果变了,就是有“顺序”,如果结果不变,就是无“顺序”。 【变式训练】　判断下列问题是否是排列问题。 (1)3封信投入4个不同的信箱,共有多少种不同的投法? (2)从1,3,7,13这4个数中任取2个数相减,可以得到多少个不同的差? (3)某班有10名三好学生,5名后进生,班委会决定选5名三好学生对5名后进生实行一帮一活动,共有多少种安排方式? (4)从5名女生,4名男生中选出4人去参加一项创新大赛,共有多少种选法? 解　(1)不是。(2)是。(3)是。(4)不是。 类型二 用列举法写出排列 　　【例2】　写出A,B,C,D四名同学站成一排照相,A不站在两端的所有可能站法。 解　由题意作“树状图”,如下, 故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,DCAB。 在“树状图”操作中,先将元素按一定顺序排列,然后以把哪个元素放在首位为分类标准,进行分类,每类中在首位元素不变的情况下,从余下元素中确定第二位并按顺序分类,依次一直进行到完成一个排列,这样就能不重不漏地依照“树状图”写出所有排列。 【变式训练】　从1,2,3,4这4个数字中,每次取出3个不同数字排成一个三位数,写出所得到的所有三位数。 解　画出下列树状图,如图。 由上面的树状图知,所有的三位数为: 123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432,共24个三位数。 类型三 用计数原理计算排列数问题 　　【例3】　(1)有7本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? (2)有7种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? 解　(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学,相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列,所以共有7×6×5=210(种)不同的送法。 (2)从7种不同的书中买3本书,这3本书并不要求都不相同,根据分步乘法计数原理,共有7×7×7=343(种)不同的送法。 用计数原理计算排列的个数,主要是应用分步乘法计数原理,解决问题的关键是分清事件发生的顺序,特别是有限制条件的元素要优先考虑。 【变式训练】　(1)沪宁高铁线上有六个大站:上海