6.1.1 两个计数原理-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版）

第六章 计数原理 　　▶导语:分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的基础。通过本章的学习,要能够结合具体实例,识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其应用,并能够运用这些原理来解决简单的实际问题。利用两个计数原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式——排列数公式和组合数公式。通过本章的学习,会运用计数原理探索排列、组合、二项式定理等问题,并能够运用它们解决简单的实际问题,特别是概率中的某些问题。 要点精准概括 3个重要原理(定理):分类加法计数原理、分步乘法计数原理、二项式定理 6个重要概念:排列、排列数、组合、组合数、二项式系数、项的系数 3个重要公式:排列数公式、组合数公式、二项展开式的通项公式 5种重要关系:分类与分步、排列与组合、排列与排列数、组合与组合数、二项式系数与项的系数 2个重要性质:组合数的性质、二项式系数的性质 7种重要方法:列举法、树状图法、整体法、插空法、捆绑法、排除法、赋值法 3个关键能力:逻辑推理能力、运算求解能力、数学建模能力 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　两个计数原理 　　某人要从济南前往北京参加会议,他有两类快捷途径可供选择:一是乘飞机,二是乘高铁。 假如当天飞机有3个航班可乘,高铁有4个班次可乘。那么他从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢? 要解决这个问题,就要运用有关排列、组合的知识。在运用排列、组合方法时,经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理。这节课,我们来学习这两个原理。 通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义。 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。这一原理被称为分类加法计数原理。 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。这一原理被称为分步乘法计数原理。 3.两个原理的推广 (1)分类加法计数原理的推广。 完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,…,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。 (2)分步乘法计数原理的推广。 完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种不同的方法。 4.两个计数原理的区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 每类方法都能独立完成这件事。它是独立的、一次的,且每次得到的是最后结果,只需一种方法就能完成 任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不可,只有各步骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的,并且既不能重复,也不能遗漏 微思考 1.从书架上取一本数学书或一本语文书是分类问题还是分步问题? 提示:分类问题。分为取数学书和语文书两类。 2.从甲地经丙地到乙地是分类问题还是分步问题? 提示:分步问题。分甲地到丙地,丙地到乙地两个步骤。 类型一 分类加法计数原理 　　【例1】　某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目。 (1)当这些频道播放的节目互不相同时,一台电视机共可以选看多少个不同的节目? (2)如果有3个频道正在转播同一场球赛,其余频道正在播放互不相同的节目,那么一台电视机共可以选看多少个不同的节目? 解　(1)当所有频道播放的节目互不相同时,一台电视机选看的节目可分为3类: 第一类,选看中央台频道的节目,有12个不同的节目; 第二类,选看本地台频道的节目,有10个不同的节目; 第三类,选看其他省市频道的节目,有46个不同的节目。 根据分类加法计数原理,一台电视机共可以选看12+10+46=68个不同的节目。 (2)因为有3个频道正在转播同一场球赛,所以这3个频道转播的节目只有1个,而其余频道共有(12+10+46-3)个正在播放的互不相同的节目,所以一台电视机共可以选看1+(12+10+46-3)=66个不同的节目。 分类加法计数原理解题的一般思路 　　【变式训练】　(1)设集合A={1,2,3,4},m,n∈A,则方程+=1表示焦点位于x轴上的椭圆有 (A) A.6个 B.8个 C.12个 D.16个 解析　因为椭圆的焦点在x轴上,所以m>n。当m=4时,n=1,2,3;当m=3时,n=1,2;当m=2时,n=1,即所求的椭圆共有3+2+1=6(个)。 (2)如图,电路中共有3个电阻与1个灯泡,若灯泡