专题02 平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优题）-2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题02 平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优题） 【题型目录】 题型一 平方根与算术平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 利用算术平方根的非负性解题 题型四 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 题型六 求一个数的平方根 题型七 已知一个数的平方根，求这个数 题型八 利用平方根解方程 题型九 平方根的应用 【知识梳理】 知识点一：平方根、算术平方根 1. （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2. 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数 a 的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零． 3.算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 【经典例题一 平方根与算术平方根概念理解】 【例1】（2023秋·安徽芜湖·八年级校考开学考试）下列说法正确的是（　　） A．是的平方根 B．是的平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【变式训练】 1．（2023春·河北邢台·七年级校考期中）若2023的两个平方根是和，则的值是（    ） A．0 B．2023 C． D．4046 2．（2022秋·浙江·七年级期中）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是平方根等于本身的数，则的值是 ． 3．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）阅读与理解 阅读学习过程，完成“步骤二”中的填空和“步骤三”的求值． 我们在华东师大版八年级上册，学习了平方根的意义和两个乘法公式——平方差公式和完全平方公式，下面是一节课的探究学习片断： 步骤一：再探公式，猜想规律 ，，． 发现这两个公式中包含了两数和、两数差、两数积、两数平方和、两数平方差，在这五个数量中，是否存在“知二求三”的一般性规律呢？ 步骤二：推导变形，得出公式 由可得，． 由也可得______，______． 综合这两个公式还可得出：______，______． 进一步综合变形推导可得：或（依据是______）或， 同理可得：求的公式为______． 步骤三：迁移运用，提升能力 若，，请运用“步骤二”中推导出的变形公式，求，，的值． 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022上·广东河源·八年级统考期中）已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023下·山西吕梁·七年级校考期中）若与的和是单项式，则的算术平方根是 ． 3．（2024上·湖南衡阳·七年级校考期末）已知的平方根为，且的平方根为，求的算术平方根． 【经典例题三 利用算术平方根的非负性解题】 【例3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）关于代数式的说法正确的是（    ） A．时最大 B．时最小 C．时最大 D．时最小 【变式训练】 1．（2023上·陕西西安·七年级统考期末）已知，满足，则的值是（　　） A． B． C． D． 2、（2023上·湖南株洲·八年级校联考期末）若实数，满足，则 ． 3．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）已知：，求：的平方根． 【经典例题四 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例4】（2022春·山东日照·七年级校考期末）关于“”，下面说法不正确的是（ ） A．它是数轴上离原点个单位长度的点表示的数 B．它是一个无理数 C．若a<<a+1，则整数a为3 D．它表示面积为10的正方形的边长 【变式训练】 1．（2023上·辽宁辽阳·八年级阶段练习）已知m是的整数部分，n是的小数部分，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．（2023上·安徽宿州·八年级统考期末）已知m是的整数部分，n是的小数部分，则m2﹣n2= ． 3．（2022下·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【经典例题五 与算术平方根有关的规律探究题】 【例5】（2021秋·