北京市重点校2023-2024学年高三上学期期中数学试题分类汇编：等比数列

2023北京重点校高三（上）期中数学汇编 等比数列 一、单选题 1．（2023北京海淀高三上期中）古典吉他的示意图如图所示．分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．则（    ） A．数列是等差数列，且公差为 B．数列是等比数列，且公比为 C．数列是等比数列，且公比为 D．数列是等差数列，且公差为 二、填空题 2．（2023北京大兴高三上期中）等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则”为假命题的一组和公比的值为 ， ． 3．（2023北京通州高三上期中）已知数列是等比数列，，，则数列的通项公式 ；数列的前9项和的值为 . 4．（2023北京汇文中学高三上期中）首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比 . 5．（2023北京景山学校高三上期中）已知数列的前项和为，且，，则 ；若，则的最小值为 . 6．（2023北京景山学校高三上期中）已知直线与相交于点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的工线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，，，，…，记点的横坐标构成数列，给出下列四个结论： ①点；        ②数列单调递减； ③；    ④数列的前项和满足：. 其中所有正确结论的序号是 . 7．（2023北京丰台高三上期中）已知数列满足，则 ① 当时，存在，使得； ② 当时，为递增数列，且恒成立； ③ 存在，使得中既有最大值，又有最小值； ④ 对任意的，存在，当时，恒成立． 其中，正确结论的序号有 ． 三、解答题 8．（2023北京丰台高三上期中）在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，且，． (1)求和； (2)设，记，求． 9．（2023北京朝阳高三上期中）已知是递增的等比数列，其前项和为，满足． (1)求的通项公式及； (2)若，求的最小值． 10．（2023北京大兴高三上期中）已知等差数列满足，. 数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列前项和的最小值为，若，，构成等比数列，求的值． 11．（2023北京四中高三上期中）已知等差数列和等比数列满足，． （Ⅰ）求数列的通项公式： （Ⅱ）求和：． 12．（2023北京朝阳高三上期中）已知等差数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求数列的前n项和Sn， 13．（2023北京海淀高三上期中）已知无穷等比数列的各项均为整数，其前项和为． (1)求的通项公式； (2)证明：对这三个数成等差数列． 14．（2023北京朝阳高三上期中）已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质： ①； ②对任意，存在，使得，则称为数表． (1)判断是否为数表，并求的值； (2)若数表满足，求中各数之和的最小值； (3)证明：对任意数表，存在，使得． 15．（2023北京北师大二附中高三上期中）已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j，使得，其中．令为满足的所有i中的最大值，为满足的所有j中的最小值． (1)若无穷递增数列的前四项是1，2，3，5，求和的值； (2)若是无穷等比数列，，公比q是大于1的整数，，求q的值； (3)若是无穷等差数列，，公差为，其中m为常数，且，求证：和都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式． 16．（2023北京海淀高三上期中）设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，，定义． (1)若，写出的值； (2)若，求； (3)设求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列． 参考答案 1．B 【分析】根据项与前项和的关系结合条件可得，根据等比数列的概念进而判断AB，结合条件可得，进而判断CD. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 即，又为大于1的常数， 所以，即数列是等比数列，且公比为，故A错误，B正确； 由上可知，又， 所以，， 所以不是常数，故C错误； 所以，不是常数，故D错误. 故选：B. 2． （答案不唯一） 【分析】由题意，等比数列为递增数列，且，取一组符合条件的和公比即可. 【详解】“若为递增数列，则”为假命题， 所以若为递增数列，则， ，则， 等比数列为递增数列，且，则和公比，满足题意. 故答案为：； 3． 171 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解，，进而根据公式即可求解. 【详解】由，可得，，所以， ， 故答案为：，171 4．2 【分析】根据等差中项可得，利用等比数列通项公式代入即可求. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 所以， 因为首项为1，所