2024年九年级中考数学一轮专题复习：相似三角形与圆综合

2024年九年级中考数学专题复习：相似三角形与圆综合 1．如图，在中，，点在边上，的外接圆交于点，，过点作于点，延长交于点．    (1)求证：． (2)求证：． (3)若，，求的长． 2．等腰内接于．点是劣弧的动点，连接与相交于点． (1)如图1，若， ①求的度数； ②若 ，求的值． (2)如图2，当刚好过圆心，且时，求的长． 3．如图，为的直径，点为上一点，和过点的切线相互垂直，垂足为． (1)求证：平分； (2)交于点，若，求的长度． 4．如图，在等腰中，，点为的中点，是的外接圆，将沿边翻折得到． (1)如图1，当为等边三角形时，下列结论正确的是 ． ①是直角三角形； ②是等腰直角三角形； ③是的切线； ④ (2)如图2，当点恰好落在上时， ①求证：是等腰三角形； ②求的长． (3)当最大时，直接写出此时的半径． 5．如图，O为线段上一点，以点O为圆心，长为半径的交于点A，点C在上，连接，满足． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 6．如图，是的直径，、是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的直线相交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求线段的长． 7．是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E． (1)如图1，求证 ； (2)如图2，连接，若，，求的长． 8．如图，边长为的等边是的内接三角形，D是上一点（点D与点B、C不重合），相交于点E． (1)______°，的半径为_______； (2)当时（点O在的下方）． ①求的长； ②点F、G分别在射线、线段上，．若，求的长． 9．如图，已知直线l与相离，于点A，交于点 P，点 B 是上一点，连接并延长，交直线l于点 C，使得． (1)判断直线与的位置关系并说明理由； (2)求线段 的长． 10．如图，已知点都在上，连接平分，与交于点，交的延长线于点，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证； (3)若，，当为何值时，为等腰三角形． 11．如图，在中，，以为半径的与相交于点E，与相切于点D (1)求证：平分； (2)已知，，求的半径r． 12．如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 13．如图， 的三个顶点，C，D都在上，边与相交于点，边与相切． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．如图，已知为的直径，将绕点旋转一定的角度后得到，交于点，连接，交于点，过点作，垂足为点． (1)求证：为的切线； (2)连接、，若，，求的面积． 15．已知：中弦相交于点，连接，作直径，点与点不重合． 初步探索 （1）如图1，当时，解决下列问题： ①与是否相等？请说明理由； ②若，，，求的长； 进一步思考 （2）如图2，若是的2倍，求证：点在线段的垂直平分线上； 拓展应用 （3）如图3，若，上存在一个点，满足是的倍（说明：所对圆周角也是所对圆周角的倍），并且，求的值．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：， ， ，， ， ； （2）证明：， ， ， ， ； （3）解：， 设，， 在中，， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ． 2．（1）解：①， ， 在和中，，则， ， ， ， 在等腰中，，则， ； ②由（1）可知， ， 设， 由（1）中可知， ，即，解得， ， 同理由（1）可知， ，即，解得， ； （2）解：， 设，则， 刚好过圆心， ， 在中，， ， ， ，即，解得，， ， ， ，即，解得， 在中，由勾股定理可得，则，解得（负值舍去）， ． 3．（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴． 4．（1）解：为等边三角形，点为的中点， 为边上的中线， 由等腰三角形三线合一可得， 将沿边翻折得到， ，即是直角三角形，故①正确； 为等边三角形，点为的中点， 为边上的中线， 由等腰三角形三线合一可得为的角平分线， ，则， 将沿边翻折得到， ， 在中，，即不是等腰直角三角形，故②错误； 连接，如图所示： ， ， 将沿边翻折得到， ， ， ，即是的切线，故③正确； 为等边三角形，点为的中点， 为边上的中线，， 由等腰三角形三线合一可得，且为的角平分线， ， 在中，，，则， 将沿边翻折得到， ， 在中，，，，则，故④正确； 综上所述，结论正确的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解：①证明：， ， ， ， 将沿边翻折得到， ， ，即， 是等腰三角形； ②将沿边翻