课时达标12 数学归纳法-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第二册（北师大版）

课时达标检测(十二)　*数学归纳法 学生用书P091 基础达标 　 一、单项选择题 1.已知命题1+2+22+…+2n-1=2n-1及其证明: (1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,所以等式成立。 (2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,所以当n=k+1时,等式也成立。 由(1)(2)知,对任意的正整数n等式都成立。判断以上评述 (　　) A.命题、推理都正确 B.命题正确、推理不正确 C.命题不正确、推理正确 D.命题、推理都不正确 解析　推理不正确,错在证明n=k+1时,没有用到假设n=k的结论,命题由等比数列求和公式知正确。 答案　B 2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步应验证n等于 (　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 解析　由凸多边形的性质知,应先验证三角形,故选C。 答案　C 3.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N+)时,该命题成立,那么可推得当n=k+1时,该命题也成立。现在已知当n=5时,该命题成立,那么可推导出 (　　) A.当n=6时命题不成立 B.当n=6时命题成立 C.当n=4时命题不成立 D.当n=4时命题成立 解析　由数学归纳法的第二步知B正确。 答案　B 4.用数学归纳法证明:对任意正偶数n,均有1-+-+…+-=2,在验证n=2正确后,归纳假设应写成 (　　) A.假设n=k(k∈N+)时命题成立 B.假设n≥k(k∈N+)时命题成立 C.假设n=2k(k∈N+)时命题成立 D.假设n=2(k+1)(k∈N+)时命题成立 解析　因为题目要证明的是对任意正偶数n,等式成立,所以在验证n=2正确后,归纳假设应写成:假设n=2k(k∈N+)时命题成立,故选C。 答案　C 5.利用数学归纳法证明不等式1+++…+<n(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了 (　　) A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项 解析　+++…+,共2k项。 答案　D 6.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线的条数f(n+1)= (　　) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 解析　增加一个顶点,就增加(n+1-3)条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,则f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1。故选C。 答案　C 7.在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N+),依次计算a2,a3,a4,归纳推测出an的通项公式为 (　　) A. B. C. D. 解析　结合题意,得a1=2,a2=,a3=,a4=,…,可推测an=,故选B。 答案　B 二、填空题 8.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+,第一步应验证的等式是　　　　　　　　。  解析　当n=1时,1-=,即1-=。 答案　1-= 9.用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n,总有2n>n3”时,验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应为　　　　。  解析　n0从1开始验证,第一个成立的式子是210>103。 答案　10 10.已知f(n)=1+++…+,n∈N+,用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2n+1)-f(2n)=　　　。  解析　f(2n+1)-f(2n)=1+++…++++…+-1++…+=++…+。 答案　++…+ 11.设f(n)=5n+2×3n-1+1(n∈N+),若f(n)能被m(m∈N+)整除,则m的最大值为　　　　。  解析　f(1)=8,f(2)=32,f(3)=144=8×18,猜想m的最大值为8。 答案　8 三、解答题 12.用数学归纳法证明:1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1=2n(2n-3)+3(n∈N+)。 证明　(1)当n=1时,左边=1,右边=2×(2-3)+3=1,所以等式成立。 (2)假设当n=k(k∈N+)时,等式成立,即1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1=2k(2k-3)+3。 则当n=k+1时,1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1+(2k+1)×2k=2k(2k-3)+3+(2k+1)×2k=2k(4k-2)+3=2k+1×[2(k+1)-3]+3, 即当n=k+1时,等式也成立。 由(1)(2)知,等式对任何n∈N+都成立。 13.用数学归纳法证明:1+++…+≤+n(n∈N+)。 证明　(1)当n=1时,1+=,不等式成立。 (2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立。 即1+++…+≤+k, 则当n=k+1时, 1+++…++++…+<+k+2k·=+(k+1)