1.5 数学归纳法-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第二册（北师大版）

*§5　数学归纳法 ( 　　 往一匹健壮的马身上放一根稻草 , 马毫无反应 ; 再添加一根稻草 , 马还是丝毫没有感觉 …… 一直往马身上添加稻草 , 当最后一根轻飘飘的稻草放到了马身上后 , 马竟不堪重负瘫倒在地。这在社会学里 , 取名为“稻草原理”。这也是多米诺骨牌效应的一个体现 , 这其中更蕴含着一种递推的数学思想 , 下面我们来学习一下这种数学思想。 了解数学归纳法的原理 , 能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。 ) 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法。它的基本步骤是: (1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时,命题成立; (2)假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立。 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立。 微思考 1.验证的第一个值n0一定是1吗? 提示:不一定,应根据实际情况确定n0的值。 2.在第二步证明中,可以不用归纳假设吗? 提示:在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立”作为条件来推出“当n=k+1时命题也成立”,在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心。不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。 类型一 用数学归纳法证明等式 　　【例1】　用数学归纳法证明:++…+=++…+(n∈N+)。 证明　(1)当n=1时,等式左边==,等式右边=,所以等式成立。 (2)假设当n=k(k∈N+)时,等式成立, 即++…+=++…+, 则当n=k+1时, +…++ =+…++ =+…++-+ =+…+++ =+…++, 所以当n=k+1时,等式也成立。 由(1)(2)可知,等式对任意n∈N+都成立。 ( 　　 用数学归纳法证明与正整数 n 有关的等式问题时 , 要“先看项” , 即弄清等式两边的构成规律 , 等式的两边各有多少项 , 项的多少与 n 的取值是否有关 , 由 n = k 到 n = k +1 时 , 等式两边会增加哪些项 , 减少哪些项 ) 【变式训练】　用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(n∈N+)。 证明　(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,等式成立。 (2)假设当n=k(k∈N+)时,等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2。 则当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时,等式也成立。 根据(1)和(2)可知,等式对任何n∈N+都成立。 类型二 用数学归纳法证明不等式 　　【例2】　用数学归纳法证明:++…+≥(n∈N+)。 证明　(1)当n=1时,左边=+=,所以当n=1时,不等式成立。 (2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立, 即++…+≥。 那么当n=k+1时,+++…++++-≥+×3-=, 所以当n=k+1时,不等式也成立。 根据(1)和(2)可知,不等式对任何n∈N+都成立。 ( 　　 证明不等式往往比证明恒等式难度更大 , 方法更灵活 , 除综合法、作差比较法、分析法、反证法及放缩法外 , 数学归纳法也是常用的方法。在用数学归纳法证明时 , 第二步中已知 f ( k ) > g ( k ), 求证 f ( k +1 ) > g ( k +1 ) 时 , 应灵活运用上述证明不等式的一般方法 ) 【变式训练】　已知数列{an}满足a1=0,an≥0,3=+an+1(n∈N+)。 (1)用数学归纳法证明:1-≤an<1(n∈N+); (2)求证:an<an+1(n∈N+)。 证明　(1)当n=1时,结论显然成立。 假设当n=k(k∈N+)时,结论成立, 即1-≤ak<1, 则3=+ak+1<3, 又ak+1≥0,所以0≤ak+1<1。 因为ak≥1-, 所以3=+ak+1≥++1=-+3, 所以≥1-+>1-+=, 所以ak+1>1-, 所以1-≤ak+1<1, 所以当n=k+1时,结论也成立。 综上,1-≤an<1(n∈N+)成立。 (2)3-3=-2+an+1=-2an-2+, 由(1)可知0≤an<1, 所以-2+>0, 所以3-3>0,所以an<an+1(n∈N+)。 类型三 用数学归纳法证明探究性问题 　　【例3】　已知数列{an}中,Sn是{an}的前n项和且Sn是2a与-2nan的等差中项,其中a是不为0的常数。