1.2.2.2 等差数列前n项和的性质及应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第二册（北师大版）

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 ( 　　 等差数列的前 n 项和公式是一个关于 n 的函数 , 那么这个函数和二次函数有什么关系呢 ? 等差数列的前 n 项和公式又具有什么独特的性质呢 ? 这一节我们就来研究一下这些问题。 1 . 掌握等差数列与其前 n 项和 S n 有关的一些性质 , 能熟练运用这些性质解题 ; 2 . 会利用等差数列前 n 项和的函数特征求最值。 ) 等差数列前n项和的常用性质 性质1:等差数列的依次k项之和仍然是等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…成等差数列,且公差为k2d。 性质2:是等差数列。 性质3:若{an}和{bn}均为等差数列,前n项和分别是Sn和Tn,已知,则有=。 性质4:(1)项数为2n的等差数列{an},有S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,=。 (2)项数为2n+1的等差数列{an},有S2n+1=(2n+1)an+1(an+1为中间项),S奇-S偶=an+1,=。 微思考 1.在等差数列{an}中,若a1>0,d>0或a1<0,d<0时,Sn能否取得最值? 提示:当a1>0,d>0时,Sn的最小值为a1,无最大值;当a1<0,d<0时,Sn的最大值为a1,无最小值。 2.若数列{an}的通项公式为an=2n-37,则当n为何值时Sn取得最小值? 提示:因为an=2n-37,an+1-an=2>0,所以{an}为递增数列。由an=2n-37≥0。得n≥18.5。所以a18<0,a19>0,所以S18最小,即当n=18时,Sn取得最小值。 类型一 等差数列前n项和的性质应用 　　【例1】　(1)等差数列前n项的和为30,前2n项的和为100,则它的前3n项的和为 (　　) A.130　　　B.170　　　C.210　　　　D.260 解析　由等差数列前n项和的性质:Sn,S2n -Sn,S3n-S2n成等差数列,得Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn),即30+(S3n-100)=2×(100-30),解得S3n=210。 答案　C (2)等差数列{an}共有2n+1项,所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120,则n等于　　　　;  解析　因为等差数列共有2n+1项,所以S奇-S偶=an+1=,即132-120=,解得n=10。 答案　10 (3)已知{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=　　　　。  解析　由等差数列前n项和的性质,知=====。 答案　 ( 　　 运用等差数列前 n 项和的性质可以优化解题过程 , 是解题的重要工具 , 所以对于性质要理解记忆并灵活应用 ) 【变式训练】　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=8,S8=20,则a11+a12+a13+a14= (　　) A.18　　　B.17　　　C.16　　　D.15 解析　设{an}的公差为d,则a5+a6+a7+a8=S8-S4=12,(a5+a6+a7+a8)-S4=4=16d,解得d=,a11+a12+a13+a14=S4+40d=18。 答案　A (2)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=100,S100=10,则S110=　　　　。  解析　由等差数列的性质可知,S10,S20-S10,S30-S20,…成等差数列,且S110-S100是该数列的第11项,设该数列的公差为d,则前10项的和为:10×100+·d=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+…+(S100-S90)=S100=10,得d=-22。所以S110-S100=S10+10d=100-10×22=-120。所以S110=-120+S100=-110。 答案　-110 类型二 等差数列前n项和的最值问题 　　【例2】　在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值。 解　解法一:因为S9=S17,a1=25, 所以9×25+d=17×25+d,解得d=-2。 所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169。 所以当n=13时,Sn有最大值169。 解法二:同解法一,求出公差d=-2。 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27。 因为a1=25>0, 由得 又因为n∈N+,所以当n=13时,Sn有最大值169。 解法三:同解法一,求出公差d=-2。 因为S9=S17,所以a10+a11+…+a17=0。 由等差数列的性质,得a13+a14=0。 所以a13>0,a14<0。 所以当n=13时,Sn有最大值169。 解法四:同解法一,求出公差d=-2。 设Sn=An2+Bn。 因为S9=S17, 所以二次函数对称轴为n==13,