1.2.2.1 等差数列的前n项和-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第二册（北师大版）

2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 　　 泰姬陵坐落于印度古都阿格拉,是17世纪莫卧儿皇帝沙·贾汗为纪念其爱妃所建,被评为世界新七大奇迹之一。它的主体建筑由纯白色大理石砌建而成,陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(如图)。那么这个图案一共用了多少颗宝石呢?这就涉及到了本节所要学习的知识。 1.理解等差数列前n项和公式的推导过程; 2.掌握等差数列前n项和公式; 3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系。 等差数列的前n项和公式 等差数列{an}的前n项和公式为Sn=。 这个公式表明:等差数列前n项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半。 将an=a1+(n-1)d代入上式,得Sn=na1+d。 微提醒 对于等差数列的前n项和公式应注意以下两点。 (1)推导方法为首尾配对求和法和倒序相加法,其中倒序相加法避开了分类讨论。 (2)Sn=与Sn=na1+d均为等差数列的前n项和公式,注意灵活选择、应用。当已知a1,an时,多用Sn=;当已知a1,d时,多用Sn=na1+d。 微思考 1.等差数列的前n项和公式中共含有几个基本量?你认为需要知几个量,才能求得其他量?判断的依据是什么? 提示:含有a1,d,an,n,Sn,共五个基本量。需要知道三个量,才能求得其他量。判断的依据是方程组思想。 2.等差数列前n项和公式中的意义是什么? 提示:=,即等差数列前n项的平均数。 3.若数列{an}是等差数列,则S2n+1与an+1有什么关系? 提示:S2n+1=(2n+1)an+1。 类型一 等差数列前n项和的计算 　　【例1】　(1)在等差数列{an}中,a4=9,a9=-6,若Sn=63,求n的值。 解　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 则解得 所以Sn=18n-n(n-1)=63, 解得n=6或n=7。 故n的值为6或7。 (2)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=84,S20=460,求S28。 解　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d。 将S12=84,S20=460分别代入, 得 解得 所以S28=28a1+d=28×(-15)+14×27×4=1 092。 ( 　　 等差数列中的基本计算 ( 1 ) 利用基本量求值 等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五个量 a 1 , d , n , a n 和 S n , 这五个量可以“知三求二”。一般是利用公式列出基本量 a 1 和 d 的方程组 , 解出 a 1 和 d , 便可解决问题。解题时注意整体代换的思想。 ( 2 ) 结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质 : 若 m + n = p + q ( m , n , p , q ∈ N + ), 则 a m + a n = a p + a q , 常与求和公式 S n = 结合使用 ) 【变式训练】　(1)(多选)在等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1= (　　) A.5　　　　B.3　　　　C.7　　　　D.-1 解析　a1+(n-1)×2=11　①,Sn=na1+×2=35　②,由①②解得a1=3或a1=-1。 答案　BD (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a8+a10=28,则S9= (　　) A.36 B.72 C.144 D.288 解析　解法一:因为a8+a10=2a1+16d=28,a1=2,所以d=,所以S9=9×2+×=72。 解法二:因为a8+a10=2a9=28,所以a9=14,所以S9==72。 答案　B 类型二 利用an与Sn的关系解决问题 　　【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解　根据Sn=a1+a2+…+an-1+an可知,Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1,n∈N+), 当n>1时, an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n-,　① 当n=1时,a1=S1=12+×1=,满足①式。 所以数列{an}的通项公式为an=2n-。 因为an+1-an=2(n+1)--2n-=2, 故数列{an}是以为首项,2为公差的等差数列。 ( 　　 一般地 , a n 与 S n 有如下关系 a n = a n = S n - S n -1 并非对所有的 n ∈ N + 都成立 , 而只对 n ≥2 的正整数成立。由 S n 求通项公式 a n 时 , 要分 n =1 和 n ≥2 两种情形 , 然后验证 n =1 时是否满足 n ≥2 的解析式