1.2.1.1 等差数列的概念及其通项公式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第二册（北师大版）

§2　等差数列 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 　　姚明是大家都熟悉的篮球运动员,若下面是姚明刚进NBA一周训练时投球的个数:第一天6 000,第二天6 500,第三天7 000,第四天7 500,第五天8 000,第六天8 500,第七天9 000。则得到数列:6 000,6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000。你发现这个数列有什么特点了吗? 1.通过生活实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义。 2.体会等差数列与一次函数的关系。 1.等差数列的概念 对于一个数列,如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数,那么称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的公差,通常用字母d表示。 2.等差数列的通项公式 若首项是a1,公差是d,则等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d。 3.等差数列与函数 对于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可将an记作f(n),它是定义在正整数集(或其子集)上的函数。其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差d是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d。 当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递减数列;当d=0时,数列{an}为常数列。 4.等差中项 如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项。如果A是a与b的等差中项,那么A-a=b-A,所以A=。 微提醒 1.等差数列的公差d即为相应直线的斜率,由斜率公式知d=(p,q∈N+且p≠q)。 2.n≥2时,在等差数列{an}中,an是an-1和an+1的等差中项,即2an=an-1+an+1。 微思考 1.如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差是常数,那么这个数列是等差数列吗? 提示:不一定。如数列1,2,4,7,10满足条件但不是等差数列,因此等差数列的定义中强调“差都等于同一个常数”。 2.任何两个数都有等差中项吗? 提示:任何两个数都有等差中项。 3.数列{an}的通项公式是an=2n+3,则数列{an}是等差数列吗? 提示:是等差数列,其公差是2。 类型一 等差数列的通项公式及应用 　　【例1】　在等差数列{an}中, (1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d; (2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9。 解　(1)由题意, 知 解得 (2)由题意,知 解得 所以a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17。 ( 　　 在等差数列 { a n } 中 , 首项 a 1 与公差 d 是两个最基本的元素 , 有关等差数列的问题 , 如果条件与结论间的联系不明显 , 则均可化成有关 a 1 , d 的方程 , 通过列方程组求解 , 但是要注意公式的变形及整体计算 , 以减少计算量 ) 【变式训练】　(1)在等差数列{an}中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d为 (　　) A.-14　　　B.-7　　　C.7　　　　D.14 解析　因为a3+a6=11,a5+a8=39,则4d=28,解得d=7。 答案　C (2)在等差数列{an}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9= (　　) A.12 B.18 C.24 D.30 解析　因为在等差数列{an}中,a5+a10=12,所以2a1+13d=12,3a7+a9=3(a1+6d)+a1+8d=4a1+26d=2(2a1+13d)=2×12=24。 答案　C 类型二 等差中项 　　【例2】　(1)已知a和2b的等差中项是5,3a和4b的等差中项是7,求2a和3b的等差中项。 (2)已知数列{an}的首项a1=3,通项公式为an=2np+nq(n∈N+,p,q为常数),且a1,a4,a5成等差数列。求p,q的值。 解　(1)因为a和2b的等差中项是5,所以a+2b=10,① 又因为3a和4b的等差中项是7, 所以3a+4b=14。② 由①②解得 所以2a和3b的等差中项为=6。 (2)由a1=3,得2p+q=3,① 又a4=24p+4q,a5=25p+5q, 且a1+a5=2a4, 得3+25p+5q=25p+8q,即q=1,② 将②代入①,得p=1。故p=1,q=1。 ( 　　 三数 a , b , c 成等差数列的条件是 b = ( 或 2 b = a + c ), 可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题。如要证 { a n } 为等差数列 , 可证 2 a n +1 = a n + a n +2 ( n ∈ N + ) ) 【变式训练】　(1)已知a=,b=,则a,b的等差中项为 (　　) A. B. C