7.5 正态分布-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．5　正态分布　　　　　　　► 对应学生用书P54 课程标准 学习目标 1．利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义． 2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义． 3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率． 1．数学抽象、直观想象：理解正态分布的概念、图象及性质． 2．数学运算：借助3σ原则解题． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、正态曲线、正态分布 1．正态曲线与正态分布 若f(x)＝e－，x∈R，其中，μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (3)曲线在x＝μ处达到峰值. (4)曲线与x轴之间的面积为1． (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． [提醒] 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 二、3σ原则 假设X～N(μ，σ2)，可以证明：对给定的k∈N*，P(μ－kσ≤X≤μ＋kσ)是一个只与k有关的定值．特别地， P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682__7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954__5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997__3， 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 【基础自测】 1．已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，则实数a的值为(　　) A．1 B． C．2 D．4 解析：选A.∵随机变量X服从正态分布N(a，4)，∴P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1. 2．随机变量ξ服从正态分布N(1，22)，P(ξ≥2)＝0.3，则P(0<ξ<1)＝(　　) A．0.7 B．0.4 C．0.2 D．0.15 解析：选C.由题意，随机变量ξ服从正态分布N(1，22)， ∴正态曲线的对称轴是直线x＝1. 又∵P(ξ≥2)＝0.3，∴P(ξ≤0)＝0.3， ∴P(0<ξ<1)＝P(0<ξ<2)＝×[1－(0.3＋0.3)]＝0.2. 3.(多选)如图是正态分布N(0，1)的正态曲线图，下面4个式子中，等于图中阴影部分面积的式子有(　　) 注：Φ(a)＝P(X≤a). A．－Φ(－a) B．Φ(1－a) C．Φ(a)－ D．[Φ(a)－Φ(－a)] 解析：选ACD.∵Φ(－a)＝P(X≤－a)，∴图中阴影部分的面积为－P(X≤－a)＝－Φ(－a).再根据图象的对称性可知图中阴影部分的面积为P(X≤a)－＝Φ(a)－.又P(－a≤X≤a)＝Φ(a)－Φ(－a)，阴影部分的面积为[Φ(a)－Φ(－a)]. 4．(2023·辽宁大连高二期末)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(102，42)，则114分以上的成绩所占的百分比为(　　) (附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ ＋3σ)≈0.997 3) A．0.3% B．0.23% C．0.135% D．1.35% 解析：选C.由题意得μ＝102，σ＝4，∴μ＋3σ＝114. ∵P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3， ∴P(X>114)≈＝0.001 35＝0.135%. 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　正态曲线及其特点　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】 (2023·山东高三阶段性测试)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是(　　) A.甲类水果的平均质量为0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 解析：选D.由图象可知甲曲线关于直线x＝0.4对称，乙曲线关于直线x＝0.8对称，∴μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A，C正确； ∵甲曲线比乙曲线更“高瘦”，∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确； ∵乙曲线的峰值为1.99，即＝1.9