7.4.2 超几何分布-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．4．2　超几何分布　　　　　　► 对应学生用书P50 课程标准 学习目标 理解超几何分布及其推导过程，并能简单地运用． 1．数学抽象：理解超几何分布概念． 2．数学运算：借助超几何分布解题． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．均值：E(X)＝． [提醒] 在超几何分布中，随机变量X的最大值r未必是次品件数M，当抽取的产品的件数n不大于总体中次品的件数M(即n≤M)时，r＝n；当抽取的产品的件数n大于总体中次品的件数M(即n>M)时，r＝M.故X的最大值r是M与n中的较小者．同理，可推测m的取值规律． 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”). (1)超几何分布是不放回抽样．(　　) (2)超几何分布的总体是只有两类物品．(　　) (3)超几何分布与二项分布的均值相同．(　　) (4)超几何分布与二项分布没有任何联系．(　　) 　答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为(　　) A． B． C．1－ D． 解析：选C.出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品的概率为，故答案为1－. 3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝____________. 解析：P(X＝3)＝＝. 答案： 4．已知一不透明盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)＝_______________， 方差D(X)＝______． 解析：由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝2，则由超几何分布的均值公式和方差公式知E(X)＝＝＝，D(X)＝＝××＝. 答案：　 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　超几何分布的判断及概率计算　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】 从5名男生和3名女生中任选3人参加某活动．若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列及P(X<2). 解：由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝8，M＝3，n＝3， 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 【母题探究】　(变设问)本例条件不变，若随机变量Y表示所选3人中男生的人数，求Y的分布列． 解：Y服从超几何分布，Y＝0，1，2，3. P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝＝＝， P(Y＝2)＝＝＝＝， P(Y＝3)＝＝＝. ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P [总结]　超几何分布的判断及概率计算的方法 判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是看随机变量是否满足超几何分布的特征，即一个总体(共有N个)内含有两种不同的事件A(M个)，B((N－M)个)，任取n个，其中恰有X个A，如果符合超几何分布就按P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，m＝min{M，n}处理即可． 【跟踪训练】 1.某班同学利用寒假对A小区的居民进行了一次生活习惯是否符合低碳理念的调查，生活习惯符合低碳理念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两类人数各占A小区总人数的比例如下表所示： A小区 “低碳族” “非低碳族” 比例 在A小区中随机选择20户，设从中抽取的3户中“非低碳族”的数量为X，求X的分布列． 解：在A小区随机选择的20户中，“非低碳族”有20×＝4(户)，由题可知，X服从超几何分布． 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 突破点二　超几何分布的均值 【例2】 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训． 由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人