7.4.1 二项分布-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．4　二项分布与超几何分布　　► 对应学生用书P47 7．4．1　二项分布 课程标准 学习目标 1．理解n重伯努利试验模型，理解二项分布． 2．能运用n重伯努利试验模型及二项分布解决一些简单的实际问题． 1．逻辑推理：理解n重伯努利试验、二项分布． 2．数学运算：借助n重伯努利试验、二项分布解题． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、伯努利试验 (1)概念 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)n重伯努利试验的共同特征 ①同一个伯努利试验重复做n次． ②各次试验的结果相互独立． 二、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为P(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． [提醒] 二项分布的关键点 ①对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居其一． ②重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p. ③X的取值从0到n，中间不间断． 【基础自测】 1．(多选)下列例子中随机变量X服从二项分布的有(　　) A.随机变量X表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数X C．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数(M<N) D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数(M<N) 解析：选AC.对于A，设事件E为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，则P(E)＝，则在n重伯努利试验中事件E恰好发生了k(k＝0，1，2，…，n)次的概率P(X＝k)＝C××，符合二项分布的定义，即有X～B.对于B，X的取值是1，2，3，…，n，P(X＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1，2，3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，因此X不服从二项分布．选项C与D的区别是：C是“有放回”抽取，而D是“无放回”抽取，显然D中n次试验是不独立的，因此X不服从二项分布，对于C，X显然服从二项分布，且X～B. 2．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为(　　) A．0.93 B．1－(1－0.9)3 C．C×0.93×0.12 D．C×0.13×0.92 解析：选C.5头猪中恰有3头被治愈的概率为C×0.93×0.12. 3．设随机变量X～B，则P(X＝3)＝________________. 解析：∵随机变量X服从二项分布B， ∴P(X＝3)＝C×＝. 答案： 4．某处有水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的概率都为，若随机变量ξ表示同时打开的水龙头的个数，则P(ξ＝3)＝______． 解析：由题意，知ξ～B，则P(ξ＝3)＝C·＝0.008 1. 答案：0.008 1 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　n重伯努利试验概率的求法 【例1】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答) (1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 解：(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－＝. (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C×＝，P(B2)＝C××＝， 由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝. 【母题探究】　1.(变设问)本例条件不变，求甲、乙各射击2次均击中目标1次的概率． 解：记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝C××＝， P(B3)＝C××＝， 所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝×＝. 2．(变设问)本例条件不变，求甲、乙各射击2次，甲未击中、乙击中2次的概率． 解：记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝C＝，P(B4)＝C＝， 所以甲未击中，乙击中目标2次的概率为P(A4B4)＝×＝. [总结] 　在伯努利试验概率的有关问题中，求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和或者利用对立事件求概率． 【跟踪训