7.3.2 离散型随机变量的方差-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．3．2　离散型随机变量的方差　　► 对应学生用书P43 课程标准 学习目标 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差． 1．数学抽象：理解离散型随机变量的方差及意义． 2．数学运算：借助方差公式解决实际问题． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、离散型随机变量的方差、标准差 1．定义：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则[xi－E(X)]2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根σ(X)为随机变量X的标准差． 2．意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． [提醒] 随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的． 二、离散型随机变量方差的运算性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．若X服从两点分布B(1，p)，则D(X)＝p(1－p)． [必记结论]　D(X)＝E(X2)－[E(X)]2 【基础自测】 1．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则E(X)和D(X)分别为(　　) A．0.25；0.5 B．0.5；0.75 C．0.5；0.25 D．1；0.75 解析：选C.E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25. 2．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b 且E(X)＝1，则随机变量X的方差D(X)等于(　　) A． B．0 C．1 D． 解析：选D.根据所给分布列，可得＋a＋b＝1，由E(X)＝1，可得a＋2b＝1，∴a＝b＝， ∴随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P ∴D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝. 3．已知随机变量ξ的分布列如下表： ξ －1 0 1 P 若η＝3ξ＋1，则D(η)＝________． 解析：均值E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－； 方差D(ξ)＝×＋×＋×＝. 由η＝3ξ＋1，∴D(η)＝9D(ξ)＝5. 答案：5 4．已知离散型随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.3 0.4 则其方差为________，标准差为______． 解析：E(ξ)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3 ×0.4＝2， D(ξ)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1. 则标准差＝＝1. 答案：1　1 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　求离散型随机变量的方差、标准差　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】 编号为1，2，3的三名学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每名学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)及σ(ξ). [思维点拨]　ξ的取值为0，1，3，求ξ的分布列后，直接利用公式求E(ξ)，D(ξ)及σ(ξ). 解：ξ的所有可能取值为0，1，3， ξ＝0表示三名同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示三名同学只有1名同学坐对了，则P(ξ＝1)＝＝； ξ＝3表示三名同学全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1； D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1. ∴σ(ξ)＝1. [总结] 　求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 (1)已知分布列型：直接利用定义求解，具体如下：①求均值．②求方差． (2)已知分布列是两点分布：直接套用公式求解，具体如下：若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p). (3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况． 【跟踪训练】 1.(2023·江西临川高二联考)若随机变量X的分布列如表所示，且E(X)＝6.3，则D(X)＝(　　) X 4 a 9 P 0.5