7.3.1 离散型随机变量的均值-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．3　离散型随机变量的数字特征　► 对应学生用书P40 7．3.1　离散型随机变量的均值 课程标准 学习目标 1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质． 2．会根据离散型随机变量的分布列求出均值． 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题． 1．数学抽象：理解离散型随机变量的均值及意义． 2．数学运算：应用随机变量的均值解题． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 1．定义：若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 3．性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 4．两点分布的均值：若X服从两点分布，则E(X)＝p. [提醒] 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化． 【基础自测】 1．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)＝(　　) A． B．2 C． D．3 解析：选A.由表中数据和数学期望的公式，可得E(X)＝1×＋2×＋3×＝＝. 2．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.2 0.5 m 则X的均值是(　　) A．2 B．2.1 C.2.3 D．随m的变化而变化 解析：选B.由0.2＋0.5＋m＝1，得m＝0.3， ∴E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1. 3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为______． 解析：依题意得 即解得y＝0.4. 答案：0.4 4．已知离散型随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a 设Y＝6X＋1，则Y的数学期望E(Y)＝______． 解析：由已知得＋＋a＝1，解得a＝，则E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 则E(Y)＝6E(X)＋1＝6×＋1＝0. 答案：0 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　离散型随机变量的均值公式及性质　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】 已知随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y). 解：(1)＋＋＋m＋＝1，解得m＝. (2)E(X)＝－2×－1×＋0×＋1×＋2×＝－. (3)若Y＝2X－3， 则E(Y)＝2E(X)－3＝－2×－3＝－. 【母题探究】　(变设问)在本例条件下求E(－3X). 解：E(－3X)＝－3E(X)＝－3×＝. [总结] 　对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便． 【跟踪训练】 1.(2023·山西太原高二检测)随机变量ξ的分布列如下表，且满足E(ξ)＝2，则E(aξ＋b)的值(　　) ξ 1 2 3 P a b c A.等于0 B．等于1 C．等于2 D．无法确定 解析：选B.E(ξ)＝2，由随机变量ξ的分布列得a＋2b＋3c＝2，① 又a＋b＋c＝1，② 联立①②解得a＝c， ∴2a＋b＝1， ∴E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2a＋b＝1. 突破点二　离散型随机变量的分布列及均值　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】 从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同．若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值． [思维点拨]　先确定好抽取次数X的可能取值，再求出对应的概率，从而得到X的分布列及均值． 解：由题意知X的可能取值为2，3，4，5. 当X＝2时，表示前2次取的都是红球， ∴P(X＝2)＝＝. 当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取得红球，∴P(X＝3)＝＝. 当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球，∴P(X＝4)＝＝. 当X＝5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球，∴P(