7.1.2 全概率公式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．1．2　全概率公式　　　　　　► 对应学生用书P32 课程标准 学习目标 1．了解全概率公式和贝叶斯公式的概念． 2．掌握利用全概率公式和贝叶斯公式求概率的方法． 3．能利用全概率公式和贝叶斯公式解决生活中一些简单的实际问题． 1．数学抽象：理解全概率公式和贝叶斯公式的概念． 2．数字运算、逻辑推理：利用全概率公式和贝叶斯公式求解概率． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝．我们称此公式为全概率公式． [提醒] 　全概率公式的直观解释 　如图，B发生的概率与P(BAi)(i＝1，2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即P(B)＝＝. 在实际问题中，当某一事件的概率难以求得时，可转化为在一系列条件下发生的概率的和． 二、贝叶斯公式(不作考试要求) 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n. 【基础自测】 1．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为(　　) A．0.8 B．0.5 C．0.67 D．0.875 解析：选A.设公路上经过的车为货车是事件A，经过的车是客车为事件B，车需要修理为事件C，且P(A)＝，P(B)＝，P(C|A)＝0.02，P(C|B)＝0.01，所以P(A|C)＝＝＝0.8. 2．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)， 由题设易知P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝， 于是P(B)＝×＋×＝. 3．一批零件100个，其中有10个不合格品，从中一个一个不放回取出，第三次才取出不合格品的概率为________． 解析：记Ai＝“第i次取出的是不合格品”，Bi＝“第i次取出的是合格品”，依题意：P(B1B2A3)＝P(B1)P(B2|B1)·P (A3|B1B2)＝××＝. 答案： 4．甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球．现从甲箱中任取一个球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球．则从乙箱中取出白球的概率为________． 解析：设B＝“从乙箱中取出白球”，A＝“从甲箱中取出白球”， P(A)＝，P()＝，P(B|)＝，P(B|A)＝，利用全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝. 答案： 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　利用全概率公式求概率　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床加工的概率． 解：设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两相斥．根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45， P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05. (1)由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5. (2)“如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件A1发生的概率． P(A1|B)＝＝＝＝. 【母题探究】　(变设问)本例条件不变，若取到的零件是次品，试计算它是第2台，第3台车床加工的概率． 解：由本例中第2台车床加工的概率为P(A2|B)＝＝＝，同理，第3台车床加工的概率为P(A3|B)＝. [总结] 　全概率公式的适用范围及步骤 什么样的问题适合用全概率公式求解？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．