7.1.1 条件概率-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布 7．1　条件概率与全概率公式　　► 对应学生用书P29 7．1．1　条件概率 课标解读 学习目标 1．了解条件概率的概念． 2．掌握求条件概率的两种方法． 3．能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 1．.数学抽象：理解条件概率的概念． 2．数学运算：借助条件概率公式解决问题． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． [提醒] P(AB)与P(B|A)的区别：二者的样本空间不一样，前者的样本空间为原样本空间Ω，后者的样本空间为A，一般地，P(B|A)≥P(AB). 二、条件概率的性质、乘法公式 1．条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(B|A)∈[0，1]，P(Ω|A)＝1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． [必记结论]　乘法公式的推广 (1)推广到3个事件 若P(A1A2)>0，则P(A1A2A3)＝P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2). (2)推广到n个事件 若Ai(i＝1，2，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An－1)>0，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1). 【基础自测】 1．(多选)下列概率问题属于条件概率的是(　　) A．甲、乙二人射击的命中率分别是0.8，0.9，各射击一次都命中的概率 B．甲、乙二人射击的命中率分别是0.8，0.9，在甲命中的前提下乙也命中的概率 C．在含有3件次品的10件产品中依次抽取两件，若第一次抽到次品，则第二次也抽到次品的概率 D．在含有3件次品的10件产品中依次抽取两件，恰好含有一件次品的概率 解析：选BC.对选项A，“都命中”属于相互独立事件同时发生，不是条件概率，故A错误；对选项B，C，显然均为条件概率，故B，C正确；对选项D，“恰好含有一件次品”，即抽出一件正品一件次品，不属于条件概率，故D错误． 2．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由公式得P(B|A)＝＝＝. 3．某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人．从中任选3名班干部参加学校的义务劳动．设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P(B|A)＝__________． 解析：根据题意，事件“男生甲被选中且女生乙被选中”发生的概率为P(A∩B)＝＝ ，事件“男生甲被选中”发生的概率为P(A)＝＝，∴P(B|A)＝＝. 答案： 4．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为________． 解析：设A为“任取的一件是合格品”，B为“任取的一件是一等品”． 因为P(A)＝1－P()＝96%，P(B|A)＝75%， 且事件B发生时事件A一定发生， 所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.96×0.75＝0.72. 答案：0.72 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　利用条件概率的计算　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】 　从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取得的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________． [思维点拨]　思路一：利用定义去求． 思路二：采用缩小样本空间法去求． 解析：法一　P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝， 由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝. 法二　n(A)＝C＋C＝4，n(AB)＝1， ∴P(B|A)＝＝. 答案： [总结] 　求条件概率P(B|A)的方法 方法一　借助定义中的公式计算． 在原样本空间中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算． 方法二　缩小样本空间法． 此方法主要针对的是古典概型，首先明确是求“在谁发生的前提下谁发生的概率”，其次转换样本空间，即把给定事件A定义为新的样本空间，并找出事件A和事件AB所含的样本点个数，最后利用P(B|A)＝计算． 【跟踪训练】 1.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去1个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去1个景点”，则P(A|B)＝______． 解析：小赵独自去1个景点，则有4个景点可选，剩下的3个人只能在另外3个景点中选择，共有4×3×3×3＝108(