章末总结 （六）计数原理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

章末总结　(六)计数原理　　► 对应学生用书P26 [知识体系建构·关键厘清]____________________________________________________ [高频考点聚焦·整合提升]____________________________________________________ 考点一　排列组合应用问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题．解决此类问题时，只有认真审题，才能把握问题的实质，常用的方法有： (1)合理分类，准确分步； (2)特殊优先，一般在后； (3)直接间接，灵活选择； (4)元素相邻，捆绑为一； (5)元素相间，插空解决； (6)抽象问题，构造模型． 　特殊元素和特殊位置优先策略 【例1】 (2022·湖北襄阳调考)从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的1个时，它应排在其他数字的前面，这样的不同三位数共有________个(用数字作答). 解析：1与3是特殊对象，以此为标准进行分类． 分三类：①没有数字1和3时，满足条件的三位数有A个； ②只有1和3中的1个时，满足条件的三位数有2A个； ③同时有1和3时，先把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3和1所形成的3个空中，此时满足条件的三位数有C·C个． 所以满足条件的三位数共有A＋2A＋C·C＝60(个). 答案：60 【跟踪训练】 1.(2023·湖北黄冈质检)在高三某班举行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场顺序的排法种数为________． 解析：2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A×A＝72种，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A×A＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60. 答案：60 　相邻问题捆绑与不相邻问题插空策略 要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决，即将需要相邻的元素捆绑并看作一个元素，再与其他元素进行排列，同时要注意捆绑元素内部也必须进行排列． 【例2】 (2023·江苏扬州期末)小明和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法种数为________． 解析：若小明的父母有一人与小明相邻，则不同的坐法有CAAC＝72(种)；若小明的父母都与小明相邻，则不同的坐法有AA＝12(种).由分类加法计数原理可得，满足条件的不同的坐法有72＋12＝84(种). 答案：84 【跟踪训练】 2.现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有________种．(用数字作答) 解析：根据题意，完成这件事可分两步： 第一步：将除甲、乙外其余三人全排列，有A＝6(种)排法； 第二步：三人排好后有4个座位(含两端)，由于甲不站在两端，则甲有2个空位可选，乙在剩下的3个空位中任选1个，有3种选法，则甲、乙的排法有2×3＝6(种). 根据分步乘法计数原理，不同的排法有6×6＝36(种). 答案：36 　定序问题倍缩法、空位法等策略 对于定序问题，可采用“倍缩法”解决，即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数． 【例3】 (2023·乳山一中模拟)7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有________种不同的排法． 解析：法一(倍缩法)　对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数.7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定的不同的排法种数是＝840(种). 法二(空位法)　设想有7把椅子让除甲、乙、丙以外的4人就座，共有A种方法，其余的3个位置，甲、乙、丙共有1种坐法，则满足条件的排法共有A＝840(种). 答案：840 【跟踪训练】 3.(2023·浙江嘉兴桐乡一中检测)某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目．如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为(　　) A．42 B．56 C．30 D．72 解析：选B.增加2个互动节目后，一共有8个节目，这8个节目的不同排法有A种，而原有的6个节目对应的不同排法共有A种，所以不同的排法有＝56(种). 　名额分配隔板与均分除法策略 将n个相同的元素分成m份(n，m为正整数)，每份至少一个元素，可以用(m－1)块隔板插入n个元素排成一排时形成的(n－1)个空隙中，所有分法种数为C. 平均分成的组，不管它们的