培优课（一） 排列组合的应用问题-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

培优课(一)　排列组合的应用问题　► 对应学生用书P18 突破点一　相同元素的分组分配问题 【例1】 有10个运动员名额，分给班号分别为1，2，3的3个班． (1)每班至少1个名额，有多少种分配方案？ (2)每班至少2个名额，有多少种分配方案？ (3)可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？ [思维点拨]　“名额”是没有区分的，说明这是相同元素的分配问题，可采用“隔板法”处理． 解：(1)因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入“隔板”，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对应一种分法，共有C＝36(种)分法． 图(1)是其中一种分法，表示分别给1班、2班、3班的名额分别是2个、5个、3个． (2)要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转化为将7个名额分给3个班级且每人班级至少1个名额，应用“隔板法”，可得有C＝15(种)分法． 图(2)是其中一种分法，表示分别给1班、2班、3班的名额分别是3＋1＝4(个)，2＋1＝3(个)，2＋1＝3(个). (3)因为允许某些班级没有名额，所以“隔板”可以相邻， 可以把10个名额和2个“隔板”共12个元素进行排序，只要在12个位置中选好2个位置安排“隔板”，就可把名额分成3份，然后对应地分给3个班级，(比如“隔板”相邻了，说明2班名额为0个)这样每一种安置“隔板”的方法对应一种分法，分配方案共有C＝66(种). [总结] 　“隔板法”能快速解决相同元素的分配问题，由于元素和“隔板”都是相同的，需按组合问题求解．使用“隔板法”的关键是要根据题意转化为“每组至少1个”或“每组至少0个”的问题，才能合理使用“隔板法”解决问题． 【跟踪训练】 1.将5个相同的球放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有(　　) A.A种 B．C种 C．58种 D．85种 解析：选B.由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可．故共有C种不同的放法． 2．6人参加一项活动，要求是“必须有人去，去几个人，谁去，自己定”，则不同的去法种数为________． 解析：按照参加的人数分类，参加的人数分别为1，2，3，4，5，6，所以不同的去法有C＋C＋C＋C＋C＋C＝63(种). 答案：63 突破点二　分组分配问题 【例2】 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人．在下列条件下各有多少种不同的分组方法？ (1)每人2本； (2)一人1本，一人2本，一人3本； (3)一人4本，其余2人每人1本． 解：(1)法一　本题为平均分组，并且有分配对象，先分组(与顺序无关)，有种分法，再分配给3个人(与顺序有关)，有A种排列，共有A种不同的分配方法，所以有CCC＝90(种). 法二　先从6本书中选2本给甲，有C种选法；再从其余的4本书中选2本给乙，有C种选法；最后把余下的2本书给丙，有C种选法，所以根据分步乘法计数原理得，分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC＝90(种). (2)先分组，再分配，与顺序有关，需排序． 6本书分成三组共有CCC种分法，但每一种分法又有A种不同的分配方案，故一人1本，一人2本，一人3本的分法有CCCA＝360(种). (3)法一　先分组，再分配，与顺序有关．先分成三份，为部分平均分组问题，共有C种分法，然后分给3个人，则共有·A＝90(种). 法二　有CA＝90(种). [总结] 　分配问题属于“排列”问题，要按排列问题求解；而分组问题属于“组合”问题，要按组合问题求解．区分是分组问题还是分配问题的关键是看是否有分配对象，若没有分配对象，则为分组问题；若有确定的分配对象，则为定向分配问题，否则，为不定向分配问题． 【跟踪训练】 3.(2022·北京理工大学附属中学高二期中)高二年级的三个班去甲，乙，丙，丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有(　　) A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 解析：选C.法一　满足题意的不同的分配方案有以下三类：①三个班中只有一个班去甲工厂有C×32＝27(种)方案；②三个班中只有两个班去甲工厂有C×3＝9(种)方案；③三个班都去甲工厂，有1种方案．综上可知，共有27＋9＋1＝37(种)不同方案，故选C. 法二　高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，有43种不同的分配方案，若三个班都不去甲工厂，则有33种不同的分配方案，则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)，故选C. 4．(2022·浙江绍兴模拟)分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，