6.3.2 二项式系数的性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．3．2　二项式系数的性质　　　► 对应学生用书P23 课程标准 核心素养 1．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用． 2．理解和初步掌握赋值法及其应用． 数学运算：借助二项式系数的性质解决问题． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即C＝C) 增减性 当k<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，中间一项取得最大值 当n是奇数时，中间两项相等，同时取得最大值 各二项 式系数 的和 C＋C＋C＋…＋C＝2n C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 [提醒] 对于2n＝C＋C＋C＋…＋C，也可以从集合的角度解释．设A是含有n个元素的集合，求A的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个数进行分类：没有元素的子集(即空集)有C个，含1个元素的子集有C个，含2个元素的子集 有C个，…，含n个元素的子集有C个，故所有子集的个数为C＋C＋C＋…＋C＝2n. 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”). (1)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　　) (2)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　　) 　答案：(1)×　(2)× 2．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　) A．11 B．10 C．9 D．8 解析：选D.第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴n＝8. 3．已知的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C.令x＝1得各项系数的和为4n，各二项式系数的和为2n，则＝64，解得n＝6. 4．(2－x)10的展开式中的各项系数和为______________． 解析：令x＝1，即得各项系数和，∴各项系数和为1. 答案：1 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　展开式系数和问题 【例1】 设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值． (1)a0； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2； (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. [思维点拨]　可利用赋值法求系数和问题． 解：(1)令x＝0，则a0＝2100. (2)令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100①， 故a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100. (3)令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100②. ①②联立可解得a1＋a3＋…＋a99＝. (4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1. (5)法一　(2－x)100的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝(－1)rC·2100－r()rxr，则ar＝(－1)rC2100－r()r(r＝0，1，2，…，100)，故a2k－1<0(k∈N*且k≤50)， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100. 法二　问题等价于求解(2＋x)100的展开式中各项系数的和．令x＝1，则原式＝(2＋)100. [总结] 　二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 【跟踪训练】 1.(2023·广东佛山二中检测)若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且 a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，则实数m＝(　　) A．1或－3 B．1或3 C．－3 D．1 解析：选A.因为(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，所以令x＝1得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，所以1