6.3.1 二项式定理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．3　二项式定理　　　　　　► 对应学生用书P20 6．3．1　二项式定理 课程标准 核心素养 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式． 3．能解决与二项式定理有关的简单问题． 1．逻辑推理：利用二项式定理推导过程培养逻辑推理素养． 2．数学运算：借助二项式定理应用提升运算能力． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*). (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． 二、二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项记作Tk＋1＝Can－kbk. [提醒] (1)二项展开式中的二项式系数是指C，C，…，C这些组合数，与a，b无关． (2)展开式中的系数则是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数． 【基础自测】 1．(x－)5的展开式中含x3项的二项式系数为(　　) A．－10 B．10 C．－5 D．5 解析：选D.Tr＋1＝C·x5－r＝(－1)rC·x5－2r，令5－2r＝3，则r＝1.∴x3项的二项式系数为C＝5. 2．二项式(x2＋)10的展开式中的常数项是(　　) A．第10项 B．第9项 C．第8项 D．第7项 解析：选B.通项Tr＋1＝C·(x2)10－r·()r＝2r·C·x20－，令20－＝0得r＝8，∴常数项为第9项． 3．在(－2)5的展开式中，x2的系数为(　　) A．－5 B．5 C．－10 D．10 解析：选C.由二项式定理得(－2)5的展开式的通项Tk＋1＝C()5－k(－2)k＝C(－2)kx，令＝2，得k＝1，所以T2＝C·(－2)·x2＝－10x2，所以x2的系数为－10，故选C. 4．(2023·安徽蚌埠三中期末)二项式(2x2－)6的展开式的中间项是________． 解：二项式展开式的通项为Tk＋1＝C(2x2)6－k·＝26－kCx12－3k，二项式展开式一共有7项，所以第4项为中间项，即k＝3，T4＝26－3Cx12－3×3＝－x3. 答案：－x3 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　二项式定理的正用和逆用 【例1】 (1)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). (2)设n为正整数，化简：C4n－1＋C4n－2＋C4n－3＋…＋C40＋C4－1. 解：(1)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. (2)原式＝(C4n＋C4n－1＋C4n－2＋…＋C41＋C40)＝(4＋1)n＝. [总结] 　二项式定理的双向功能 (1)正用：将二项式(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律． 【跟踪训练】 1.(1)用二项式定理展开：； (2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC. 解：(1)法一　＝(3)4＋C(3)3＋C(3)2·＋C(3)＋C·＝81x2＋108x＋54＋＋. 法二　＝＝(1＋3x)4＝[1＋C(3x)＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2. (2)1＋2C＋4C＋…＋2nC＝C＋21C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n. 突破点二　求展开式中特定项 【例2】 在二项式的展开式中，求： (1)第4项；(2)常数项；(3)有理项． [思维点拨]　先化简确定通项后再根据条件求相关项 解：二项展开式的第r＋1项是Tr＋1＝Cx12－r＝(－1)rCx12－r. (1)令r＝3，则T4＝(－1)3Cx12－×3＝－220x8. (2)令12－r＝0，则r＝9，从而常数项为(－1)9C＝－220. (3)若求展开式中的有理项，则12－r为整数，即r＝0，3，6，9，12，故有理项分别为T1＝x12，T4＝－Cx8＝－220x8，T7＝Cx4＝924x4，T10＝－C＝－220，T13＝x－4. [总结] 　求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即