6.2.1&6.2.2 第2课时 排列的综合应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　排列的综合应用　　　　　► 对应学生用书P10 课程标准 核心素养 能应用排列知识解决简单的实际问题． 逻辑推理、数学运算：利用排列知识解决相关实际问题． 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　无限制条件的排列问题 【例1】 把15人分成前、中、后三排，每排5人，则共有不同的排法种数为(　　) A． 　　　B．A·A·A·A C．A 　　　 D．A·A 解析：选C.法一　15个人分成前、中、后三排，每排5人，分3步完成，不同的排法种数为A·A·A＝15！＝A. 法二　此问题可看作将排成的三排“拉直”，实际上就是将15人排成一排的问题，故共有A种不同排法． [总结]　没有限制条件的排列问题的解题方法 没有限制条件的排列问题，是对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制的排列问题，解决此类问题只需将计数问题转化为排列问题即可．同时，要明确完成一件事是分类还是分步，分类用加法，分步用乘法． 【跟踪训练】 1.(2023·北京海淀期末)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面旗，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号． 解析：分三类完成： 第1类，挂1面旗，可以表示A种不同的信号； 第2类，挂2面旗，可以表示A种不同的信号； 第3类，挂3面旗，可以表示A种不同的信号； 根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种). 答案：15 2．将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车均有1位司机和1位售票员，则共有________种不同的分配方案． 解析：解决这个问题可以分为两步： 第1步，把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A种方法； 第2步，把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，也有A种方法． 由分步乘法计数原理知，分配方案共有A·A＝576(种). 答案：576 突破点二　特殊元素或特殊位置问题 【例2】 甲、乙等6个人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站最右端，也不站最左端； (2)甲、乙站在两端． 解：(1)法一(位置分析法)　因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的5个人中任选2个人站在左、右两端，有A种站法，再让剩下的4个人站在中间的4个位置上，有A种站法．由分步乘法计数原理知，不同的站法共有AA＝480(种). 法二(元素分析法)　因为甲不能站左、右两端，故先让甲站在除左、右两端之外的任一位置上，有A种站法，再让余下的5个人站在其他5个位置上，有A种站法，故不同的站法共有AA＝480(种). 法三(排除法)　在排列时，不考虑甲站位的要求，有A种站法，但其中包含甲站在最左端或最右端的情况，甲在最左端或最右端有2A种站法，于是不同的站法共有A－2A＝480(种). (2)法一(元素分析法)　首先考虑特殊对象，先让甲、乙站在两端，有A种站法，再让其他4个人在中间4个位置进行全排列，有A种站法．根据分步乘法计数原理知，不同的站法共有AA＝48(种). 法二(位置分析法)　首先考虑两端的两个位置，由甲、乙去站，有A种站法，再考虑中间的4个位置，由剩下的4个人去站，有A种站法．根据分步乘法计数原理知，不同的站法共有AA＝48(种). [总结] 　“特殊”优先原则 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先． 其思路是 【跟踪训练】 3.(2023·河南郑州期中)若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有(　　) A．20个 B．48个 C．52个 D．120个 解析：选C.根据题意，分2种情况讨论： ①若0在个位，则只需在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，此时没有重复数字的三位偶数有A＝20(个)； ②若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，此时没有重复数字的三位偶数共有2×4×4＝32(个).综上可得，没有重复数字的三位偶数共有20＋32＝52(个).故选C. 4．(2023·浙江杭州期末)把甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的6天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有(　　) A．20种 B．30种 C．40种 D．60种 解析：选C.甲是特殊元素，应优先安排．分