6.1 第2课时 分类加法计数原理与分布乘法计数原理的应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 ► 对应学生用书P4 课程标准 核心素养 1．进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 2．能根据具体问题的特征，选择两个计数原理解决一些实际问题． 1．数学运算：借助两个计数原理解决计数问题． 2．逻辑推理：通过合理地分类或分步解决实际问题． 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　计数问题 【例1】 用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种). (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种). (3)被2整除的数即偶数，末位数可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． 【母题探究】 1.(变条件)本例条件变为“用1，2，3，4四个数字”，试求可以组成不重复的三位数多少个？ 解：可组成4×3×2＝24(个). 2．(变设问)在本例条件下，能组成多少个能被3整除的无重复数字的四位数？ 解：一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故组成四位数的四个数字只能是0，1，2，3或0，2，3，4两类，所以满足题设的四位数共有3×3×2×1＋3×3×2×1＝36(个). [总结] 　(1)对于组数问题，一般按特殊位置(通常是末位或首位)分类，分类中再按特殊元素优先的方法分步完成．如果从正面分类较多，可采用间接法从反面求解． (2)解决组数问题时，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘． 【跟踪训练】 1.(2023·山东烟台联考)用0，1，…，9这十个数字可以组成的无重复数字的两位数中偶数的个数为(　　) A．9 B．32 C．41 D．28 解析：选C.由题意可知组成的两位数的个位上的数字可能是0，2，4，6，8.分两类计数：个位数字为0，满足题意的偶数有9个；个位数字不是0，满足题意的偶数的个数为8×4＝32.根据分类加法计数原理可知，满足题意的偶数的个数为9＋32＝41. 2．用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数的个数为(　　) A．12 B．18 C．24 D．30 解析：选B.分三步完成，第1步，确定哪一个数字被使用了2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个数位上，有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个数位上，有2种方法，故有3×3×2＝18(个)不同的四位数． 突破点二　选取与分配问题 【例2】 甲、乙、丙3个班各有3，5，2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种推选方法． 解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×5＝15(种)选法；②甲班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×2＝6(种)选法；③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有5×2＝10(种)选法．综上，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31(种)推选方法． 答案：31 [总结] 　解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象的数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象的数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法．去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有符合条件的抽取方法数即可． 【跟踪训练】 3.已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________． 解析：分两类：第一类，第一象限内的点，有2×2＝4(个)； 第二类，第二象限内的点，有1×2＝2(个). 故不同的点的个数为4＋2＝6. 答案：6 4．某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注