6.1 第1课时 分类加法计数原理与分布乘法计数原理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第六章 计数原理 6．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理　► 对应学生用书P1 第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课程标准 核心素养 1．通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理． 2．正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”． 1．逻辑推理：利用两个原理解决一些简单的实际问题． 2．数学运算：借助两个计数原理解决一些简单的实际问题． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、分类加法计数原理 1．完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 2．分类加法计数原理的推广 完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． [提醒] (1)分类必须明确标准，一般地，分类标准不同，分类的结果也不同； (2)每一种方法都必须属于某一类，不同类的任意两种方法是不同的； (3)每一类中的任意两种方法也不相同． 二、分步乘法计数原理 1．完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 2．分步乘法计数原理的推广 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． [提醒] (1)准确确定分步的标准，一般地，分步的标准不同，分成的步骤数也会不同； (2)要注意各步骤之间必须连续； (3)各步骤之间既不能重复，也不能遗漏． 【基础自测】 1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有(　　) A．3种 B．4种 C．7种 D．12种 解析：选C.选择课程的方法有2类：从A类课程中选一门有3种不同方法，从B类课程中选1门有4种不同方法，∴共有不同选法3＋4＝7(种). 2．现有4件不同款式的上衣与3件不同颜色的长裤，如果一条长裤和一件上衣配成一套，则不同的选法有(　　) A．7种 B．64种 C．12种 D．81种 解析：选C.∵选定一件上衣时，有不同颜色的裤子3条， ∴有3种不同的穿衣方案， ∴共有3×4＝12(种)不同的搭配方法，故选C. 3．设a，b，c∈{1，2，3，4}，若以a，b，c为三条边的长构成一个等腰三角形，则这样的三角形有________个． 解析：法一　设a，b是腰长，根据腰长分四类： 第1类，当a＝b＝1时，c<a＋b＝2，则c＝1； 第2类，当a＝b＝2时，c<a＋b＝4，则c＝1，2，3； 第3类，当a＝b＝3时，c<a＋b＝6，则c＝1，2，3，4； 第4类，当a＝b＝4时，c<a＋b＝8，则c＝1，2，3，4. 因此符合条件的三角形的个数为1＋3＋4＋4＝12. 法二　设c为底边长，根据底边长分四类： 第1类，当c＝1时，c<a＋b，则a＝b＝1，2，3，4； 第2类，当c＝2时，c<a＋b，则a＝b＝2，3，4； 第3类，当c＝3时，c<a＋b，则a＝b＝2，3，4； 第4类，当c＝4时，c<a＋b，则a＝b＝3，4. 因此符合条件的三角形的个数为4＋3＋3＋2＝12. 答案：12 4．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条． 解析：经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步，确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12(条). 答案：12 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　利用分类加法计数原理解题 【例1】 (2023·江苏苏州期末)某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是(　　) A．8 B．12 C．16 D．24 [思维点拨]　要完成的一件事是四个小岛用三座桥连通，且每个小岛最多有两座桥连接．以其中一个小岛为分类标准，则可分两类，一是与它只有一座桥相连，二是与它有两座桥相连，一一列举，得到答案． 解析：选B.四个人工小岛分别记为A，B，C，D，用“－”表示桥，则以A岛为分类标准，可分两类： 第1类，与A岛只有一座桥相连时，有