2024年中考 数学专题提升训练 37 与特殊四边形有关的折叠问题

与特殊四边形有关的折叠问题 教材原题到重难考法 方法归纳 1. 折痕过对角线 基本折法：如图，P是矩形ABCD边AD上一点，当点P与点D重合时，将△ABP沿BP折叠得到△EBP，BE交CD于点H. 特殊结论：△BCH≌△PEH，PH＝BH，PE2＋EH2＝PH2. 2. 折痕过一顶点 基本折法：如图，点P是矩形ABCD的边AD上一点，将△ABP沿BP折叠得到△EBP，点E恰好落在CD边上． 特殊结论：一线三垂直，△PDE∽△ECB，(AD－PE)2＋DE2＝PE2. 拓展折法： 特殊结论：△PDE∽△DBC∽△BDA，DE2＋(AD－PD)2＝PD2. 例　 如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 　例题图 3. 折痕过两边 基本折法：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，沿EF将四边形ABFE折叠得到四边形A′B′FE，点B′恰好落在AD边上． 特殊结论：连接BE，△ABE≌△A′B′E. 当点B′与点D重合时，过点E作EG⊥BC于点G，连接BB′，则△EFG∽△BB′C；四边形BEB′F为菱形． 变式题 1. 折痕过一顶点，且折叠后一对应点落在对角线上 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是CD边上的一点，连接BP，将△PBC沿BP折叠得到△PBC′，若点C′恰好落在对角线BD上，则CP的长为________． 第1题图 2. 折痕过一顶点，且折叠后对应点落在边上 (一题多解法)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是CD边上的一点，连接BP，将△PBC沿BP折叠得到△PBC′，若点C′恰好落在边AD上，则CP的长为________． 第2题图 3. 折痕过一顶点，且折叠后对应点落在外部 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是CD上一点，连接BP，将△PBC沿BP折叠得到△PBC′，BC′交AD于点M，PC′交AD于点N，若NC′＝ND，则BP的长为__________． 第3题图 4. 折痕过邻边，且折叠后对应点落在矩形对角线上 如图，一张矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，P是CD边的中点，E是BC边上的一点，连接EP，将△PEC沿EP折叠得到△PEC′，若点C′恰好落在对角线AC上，则CE的长为________． 第4题图 5. 折痕过两边，且折叠后对应点落在顶点上 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，P分别在边BC，AD上，将矩形ABCD沿直线PE折叠．若顶点C恰好落在顶点A处，求折痕PE的长． 　第5题图 6. 折痕过两边，且折叠后对应点落在边上 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，P分别在边BC，AD上，将矩形ABCD沿直线PE折叠．若点C恰好落在AD边上的点C′处，且AP＝3PD，求cos ∠PC′E的值． 　第6题图 对接中考 1. 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为(　　) 第1题图 A. 1 B. C. D. 2 2. 如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长． 　第2题图 3. 如图，在矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE. (1)求证：△ADE≌△CED； (2)求证：△DEF是等腰三角形． 　第3题图 基础过关 1. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6.点P是边AD上一点，点Q是边BC上一点，连接PQ，将矩形纸片沿直线PQ折叠，使CQ落在直线AQ上，点C，D分别落在点C′，D′处，若DP＝1，则AC′的长为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第1题图　 2. 在矩形纸片ABCD中，点E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF.若AB＝4，BC＝6，则CF的长是(　　) A. 3 B. C. D. 第2题图 3. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE翻折，点B落在点F处，延长EF交CD于点P，若AB＝6，则DP的长为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第3题图 4. 如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为__________． 第4题图 5. 如