6.2.3 向量的数乘运算（教学设计）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量 6.2.3 向量的数乘运算 教学设计 一、教材分析 本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节第三课时的内容——向量的数乘运算，是在学习了向量的加减法基础上的进一步学习，可以理解为几个特殊（相等）向量的加法，这种特殊的加法可以用一种更简洁的形式来描述，其实也可以类比到实数的加法到乘法的学习过程。因此，实数与向量的乘积仍然是一个向量（因为本质上还是加法），要按大小和方向这两个要素去理解。向量的数乘运算与向量的加减法运算一样也有运算律，可以对向量数乘运算进行化简。 向量的加、减、数乘运算及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识（平面向量的基本定理及坐标表示以及后续的空间向量内容）和运用向量知识解决问题的基础。 实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解，特别是与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理。向量共线定理实际上就是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别注意的是向量的平行要与平面中直线的平行区别开来。 理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，能够培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，进而培养学生的逻辑推理的核心素养。 二、学情分析 1.认知基础： 前面已经学习了向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则、向量减法的三角形法则，对向量的运算已经有了基本的认识。 2.认知障碍： 向量的平行与平面中直线的平行的区别。 三、教学目标 1.目标 （1）通过经历向量数乘运算的探究过程，借助实数的乘法以及物理中的实例，掌握平面向量的数乘运算及运算律，理解其几何意义，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养。 （2）通过对向量数乘运算的进一步理解，感受实数与向量的积与原向量共线，并通过具体情况分析总结得出向量共线定理，利用向量共线定理判断或证明两个向量共线，进而培养学生的逻辑推理的核心素养。 2.目标解析 达成上述目标的标志是： （1）学生能通过具体的一类共线向量的加法，类比数的乘法引出向量数乘的运算法则，借助有向线段表示向量数乘的几何意义；能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量线性运算的运算律，理解向量线性运算的一些运算性质，体会其几何意义. （2）学生能够理解：数乘向量的结果是与原向量共线的向量；反之，与一个非零向量共线的向量可以写成是一个实数与这个非零向量的积，并且这个实数是唯一的，并能利用向量共线定理解决问题。 四、教学策略分析 在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点。 在教学过程中，重视注重与实际的联系，利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情境.通过这些实例使学生了解向量内容的物理背景，理解向量内容.通过与数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路。 五、教学重难点 重点：理解并掌握两向量共线的性质和判断方法。 难点：能熟练地运用向量共线的性质和判断方法处理有关向量共线问题. . 六、教学过程 环节1：创设情境，提出问题 问题1:(1)向量是如何进行加法和减法运算?你能总结一下我们的研究方法与路径吗? (2)你认为我们还可以研究向量的什么运算? (3)如果实数与向量可以做乘法运算，你认为应该怎样去研究这种运算? 师生活动：在提出问题(1)后，先由学生独立思考，总结研究向量加法和减法的方法与路径，再全班交流，在此基础上确定本节课的研究任务，并明确研究路径. 设计意图：引导学生归纳研究向量运算的“基本套路”，得出“背景--概念--性质--应用”，形成研究数乘运算的先行组织者，同时从学生所熟知的物理学中等公式和实数的乘法运算作为出发点，类比学习，降低对向量学习的恐惧感. 环节2：问题导向，合作探究 问题2：已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们的长度与方向分别是怎样的？（与非零向量的关系） 【预设答案】 a+a+a，方向与a的方向相同，长度是a的长度的3倍； 类似地，(-a)+(-a)+(-a)，方向与a的方向相反，长度是a的长度的3倍． 追问1：在整式运算中，我们可以将x+x+x用乘法简写为3x。对于非零向量a，a+a+a我们可以怎样简写呢？ 【预设答案】类比整式运算，我们可以用3a来表示a+a+a． 追问2：同样的，(-a)+(-a)+(-a)可以简写成什么呢？ 【预设答案】可以简写成-3a． 追问3：已知非零向量a，作出a和-a，它们的长度与方向分别是怎样的？ 【预设答案】a的方向与a的方向相同，长度是a的长度的； -a的方向与a的方向相反，长度是a的长度的倍； 追问4：已知非零向量a，λa的长