13.2.3 第2课时 直线与平面垂直-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

第二课时　直线与平面垂直　　　　　► 对应学生用书P103 [课程标准]　1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直的关系，归纳出判定定理和性质定理，并加以证明．　2.会应用直线与平面垂直的判定定理和性质定理证明一些空间的简单线面关系． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、直线与平面垂直 定义 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直 记法 a⊥α 有关概念 直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足 图示及画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 记一记：(1)定义中的“任意一条”与“所有直线”意义相同，但与“无数条直线”不同，即定义说明这条直线和平面内的所有直线都垂直． (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况． (3)运用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直时，要紧扣“一条直线与一个平面内的任意直线都垂直”，若在平面内能找到一条直线与已知直线不垂直，则这条直线与这个平面不垂直． (4)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条． 二、直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 图形 语言 符号 语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 三、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行；②作平行线 记一记：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 四、 点面距与线面距 1．点面距：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离． 2．线面距：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离． 五、直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线PA与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，直线PA叫作平面α的斜线 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平 面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 0°≤θ≤90° 【基点小试】 1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 解析：选B.对于选项A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，故不正确；对于选项B，由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故正确；对于选项C，l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确；对于选项D，平行于同一平面的两直线可能平行、异面或相交，故不正确． 2．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　) A.相交 B．异面 C．平行 D．不确定 解析：选C.∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC， ∴l∥m. 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC1与平面ABCD所成角的正弦值是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.如图，因为CC1⊥平面ABCD，所以AC为AC1在平面ABCD上的射影， 所以∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角． 设棱长CC1＝1，则AC＝，AC1＝，所以sin ∠C1AC＝＝. 4．如图，AB是⊙O的直径，PA⊥平面ABC，C为圆周上一点，AB＝5 cm，AC＝2 cm，则B到平面PAC的距离为________． 解析：由题意，PA⊥平面⊙O， ∴PA⊥BC， 又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，PA∩AC＝A，A∈平面PAC， ∴BC⊥平面PAC，点B到平面PAC的距离就是BC的长度， 根据勾股定理：BC＝＝. 答案： 5．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC.求证：AC⊥平面ABB1A1. 证明：因为AA1⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AA1⊥AC，又AB⊥AC， 且AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，所以AC⊥平面ABB1A1. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　直线与平面垂直的判