第11章末总结 （十一）解三角形-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

章末总结　(十一)解三角形　　　　　► 对应学生用书P62 　高频考点聚焦 考点一　利用正、余弦定理解三角形 解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C. 例1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a cos B. (1)证明：A＝2B； (2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小． 解：(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin A cos B， 故2sin A cos B＝sin B＋sin (A＋B)＝sin B＋sin A cos B＋cos A sin B， 于是sin B＝sin (A－B)， 又A，B∈(0，π)，故0<A－B<π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B. (2)由S＝，得ab sin C＝，根据正弦定理及(1)所求A＝2B， 故有sin B sin C＝sin 2B＝sin B cos B， 因为sin B≠0，所以sin C＝cos B， 又B，C∈(0，π)，所以C＝±B. 当B＋C＝时，A＝； 当C－B＝时，A＝. 综上，A＝或A＝. 【练一练】 1．在锐角△ABC中，设角A, B, C所对的边长分别为a, b, c，且b sin A＝a. (1)求B的大小； (2)若AB＝2，BC＝，点D在边AC上，________，求BD的长． 请在①AD＝DC; ②∠DBC＝∠DBA; ③BD⊥AC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答． 解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝及b sin A＝a，得sin B sin A＝sin A， 因为△ABC为锐角三角形，所以A∈，所以sin A>0， 所以sin B＝， 又因为B∈，所以B＝. (2)若选①：在△ABC中，由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝22＋－2×2××cos ＝， 所以AC＝，所以AD＝DC＝， 在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝BD2＋DA2－2BD·DA·cos ∠ADB， 即4＝BD2＋－BD cos ∠ADB， 在△BDC中，由余弦定理，得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos ∠CDB， 即＝BD2＋－BD cos ∠CDB， 又∠ADB＋∠CDB＝π， 所以cos ∠ADB＋cos ∠CDB＝0， 所以4＋＝2BD2＋，所以BD＝. 若选②：在△ABC中，S△ABC＝S△ABD＋S△CBD， 即BA·BC sin ＝BA·BD sin ＋BD·BC sin ， 即×2××＝×2×BD×＋×BD××，解得BD＝. 若选③：在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝22＋－2×2××cos ＝， 所以AC＝， 因为S△ABC＝BA·BC·sin B＝， 又S△ABC＝BD·AC＝BD， 所以BD＝， 解得BD＝. 考点二　判断三角形的形状 根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系．判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解． 例2.在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状． [思维点拨]　利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状． 解：法一(正弦定理边化角)　由正弦定理， 得2sin B＝sin A＋sin C， ∵B＝60°，∴A＋C＝120°， ∴2sin 60°＝sin (120°－C)＋sin C， 展开整理得sin C＋cos C＝1， ∴sin (C＋30°)＝1， ∵0°<C<120°， ∴C＋30°＝90°， ∴C＝60°，则A＝60°， ∴△ABC为等边三角形． 法二(余弦定理法)　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B， ∵B＝60°，b＝， ∴＝a2＋c2－2ac cos 60°， 化简得(a－c)