9.3.2 向量坐标表示与运算 第1课时 向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

9．3．2　向量坐标表示与运算　► 对应学生用书P20 第一课时　向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示 [课程标准]　1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．　2.会用坐标表示平面向量的加法、减法、数乘运算． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识　　　　　　　　　　 一、向量的坐标表示 如图所示，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj. 我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)． 想一想：点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？ 提示： 区 别 表示形 式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 意义 不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，α＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 二、向量线性运算的坐标表示 设a＝，b＝， 数学公式 文字语言表述 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 数乘 λa＝(λx1，λy1) 实数与向量的积的坐标等于实数乘以原来向量的相应坐标 重要 结论 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标 【基点小试】 1．若向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，则a－b的坐标为(　　 ) A．(1，5) B．(1，1) C．(3，1) D．(3，5) 解析：选C.a－b＝－＝. 2．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，则2a－3b＝(　　) A．(－8，3) B．(－8，－3) C．(8，3) D．(8，－3) 解析：选C.由题意得2a－3b＝(2，6)－(－6，3)＝(8，3). 3．(2023·湖南邵东高一检测)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝(　　 ) A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0) 解析：选A.因为向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)， 所以b＝(3，2)－2a＝(3，2)－2(1，2)＝(1，－2). 4．已知向量a＝，b＝，则a＋b＝__________． 解析：a＋b＝＋＝. 答案： 5．根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1. 解：由题可知：a＝2i＋3j＝， b＝－2i＋3j＝， c＝－3i－2j＝， d＝3i－3j＝. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　平面向量的坐标表示 例1.(1)已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，则向量a的坐标为(　　) A．(1，1) B．(－1，－1) C．(，) D．(－，－) (2)如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴同向的单位向量，，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是______．(填序号) ①向量a可以表示为a＝mi＋nj； ②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)； ③若a＝，则终点A的坐标就是向量a的坐标． 解析：(1)由题意，a＝(cos 45° )i＋(sin 45° )j＝i＋j＝(1，1). (2)由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m，n使得a＝mi＋nj，所以①正确；当a＝时，均有a＝(x，y)，所以②错误，③正确． 答案：(1)A　(2)①③ [总结] 　求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标； (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标． 【练一练】 1．已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a＝－2e1＋e2，b＝3e1－e2，c＝－e1，求a，b，c在以{e1，e2}为基底的坐标． 解：依题意e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a＝－2e1＋e2，b＝3e1－e2，c＝－e1，所以a＝，b＝，c＝. 题型二　平面向量的坐标运算 例2.(1)已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： ①2a＋3b；②a