9.1 向量概念-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

第9章 平面向量 9．1　向量概念　　　　　► 对应学生用书P1 [课程标准]　1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．　2.理解平面向量的几何表示和基本要素． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、向量的概念 1．向量：我们把既有大小又有方向的量叫作向量； 2．数量：把只有大小没有方向的量称为数量． 想一想：向量能比较大小吗？ 提示：向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小． 二、向量的几何表示 1．有向线段 (1)定义：在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫作有向线段． (2)记法：以A为起点、B为终点的有向线段记作． (3)线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作||． 2．向量的表示 (1)向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A为起点、B为终点的向量记为. (2)向量也可用小写黑体字母a，b，c，…(印刷用黑体，书写用带箭头的小写字母，，，…)表示． 3．向量的相关概念 向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|| 零向量 长度为0的向量称为零向量，记作 0，零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 记一记：有向线段与向量的区别和联系： 区别 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的 联系 有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数条有向线段 三、平行向量、相等向量与相反向量 1．方向相同或相反的非零向量叫作平行向量．向量a与向量b平行，记作a∥b.我们规定零向量与任一向量平行，即对任意的向量a，都有0∥a. 2．长度相等且方向相同的向量叫作相等向量， 记作 a＝b. 3．任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量又称为共线向量． 4．相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，记作－a，a与－a互为相反向量，并且规定零向量的相反向量仍是零向量． 四、向量的夹角 1．定义：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角(如图所示). 2．特例：当θ＝0°时，a与b同向； 当θ＝180°时，a与b反向； 当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 【基点小试】 1．下列说法中正确的个数是(　　) ①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B.身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对于②，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量；④是向量．故选B. 2．下列结论中正确的是(　　) ①若a∥b且＝，则a＝b； ②若a＝b，则a∥b且＝； ③若a与b方向相同且＝，则a＝b； ④若a≠b，则a与b方向相反且≠. A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 解析：选B.若a∥b且＝，则a＝b或a＝－b，则①错误；若a＝b，则a∥b且＝，则②正确；若a与b方向相同且＝，则a＝b，则③正确；若a≠b，则a与b方向不定，且与大小也不定，则④错误． 3．下列叙述： ①单位向量都相等； ②若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； ③共线的向量，若起点不同，则终点一定不同； ④方向不同的两个向量一定不平行． 其中正确的有________．(填所有正确的序号) 解析：①错误，单位向量的模都相等，但是方向不一定相同． ②正确，若一个向量的模为0，则该向量是零向量，其方向不确定，是任意的． ③错误，共线的向量，若起点不同，但终点有可能相同． ④错误，方向相反的两个向量一定平行． 答案：② 4．在正三角形ABC中，向量与向量的夹角为________，向量与向量的夹角为________． 解：因为△ABC是正三角形，所以向量与向量的夹角为∠BAC＝60°，向量与向量的夹角为120°. 答案：60°　120° 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　向量的有关概念 例1.(多选)下列说法中正确的有(　　) A．单位向量的长度大于零向量的长度 B．零向量与任一单位向量平行 C．向量和向量长度相等 D．向量就是有向线段 解析：选ABC.单位向量的长度为1，零向量的长度为0，A正确