9.1向量概念　讲义——2022-2023学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

贾汪中学高一下学期数学讲义1 9.1 向量概念 预习-知识清单 向量 既有 又有 的量叫向量；例如：位移、力、速度、加速度等都是向量. 向量的大小叫做 (或模) 向量的表示 用一条有向线段表示，有向线段的长度表示向量大小，箭头方向表示向量方向 向量的模 零向量 长度为0的向量，记作 ，零向量的方向是 的 单位向量 长度等于 的向量 是与同向的单位向量， 是与反向的单位向量 平行/共线向量 方向相同或相反的非零向量为共线向量(与任一向量共线) ，， 相等向量 长度相等且方向相同的向量为相等向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度 且方向 的向量 的相反向量为 ；的相反向量为；的相反向量为 向量的夹角 知识点1、向量的概念及表示 1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫作向量.例如：位移、力、速度、加速度等都是向量. 2.向量的表示 向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.以A为起点、B为终点的向量记为，向量也可用、、表示。 3.向量的模：向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作||。 4.零向量：长度为0的向量称为零向量，记作；零向量的方向是任意的。 5.单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量。 【练习题】 1． 在下列说法中正确的有（ ） ①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量； ②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量； ③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量； ④平面上的数轴都是向量. A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列说法中，正确的是（ ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 知识点2、向量间的关系 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量。如图，向量、、是一组平行向量。 向量与向量平行，记作。 规定：零向量与任一向量平行。 【拓展】平行向量的情况 两个平行的非零向量在其方向与长度两个要素上可能出现以下四种情况： （1）方向相同，长度不等； （2）方向相同，长度相等（相等向量）； （3）方向相反，长度相等（相反向量）；（4）方向相反，长度不等。 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量。向量与相等，记作。 3.共线向量：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量又称为共线向量。 【拓展】向量相等具有传递性，即若，，则.若，，未必有。但若，则，，可得。 4.向量的夹角：对于两个非零向量，在平面内任取一点0，作 =,∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量与的夹角.当θ=0°时，与同向；当θ=180°时，与反O相向；当θ=90°时，则称向量与垂直，记作。 5.相反向量 我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫作的相反向量，记作-，与-互为相反向量. 规定：零向量的相反向量仍是零向量； 对任意一个向量，总有-(-)=。 【练习题】 1.判断下列结论是否正确，并说明理由． (1)长度相等的两个向量一定是相等向量． (2)相等向量的起点必定相同． (3)向量的长度与向量的长度相等． (4)物理学中的作用力和反作用力是一对共线向量． (5)若与都是单位向量，则． 2.下列关于向量的命题，序号正确的是_____. ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 3.下列命题中，正确的是________．（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 例题讲解 例题1.某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 例题2.如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题． (1)分别写出与，，相等的向量； (2)写出与共线的向量． 课堂练习 1．给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间． 其中不是向量的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列说法：正确说法的个数是（ ） ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列说法正确的是（ ） A．