2024年中考 数学专题提升训练33 辅助圆问题

辅助圆问题 一、构造辅助圆 方法一　定点定长作圆 方法归纳 条件：如图，在平面内，A为定点，B为动点，且AB长度固定． 动点轨迹：动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆(依据的是圆的定义，圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合). 推广：在折叠、旋转、对称问题中，有时会利用“定点定长作圆”确定动点的运动轨迹 1. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BDC＝22°，若求∠BAC的度数． 第1题图 (1)请在图中画出解题所需辅助圆的草图； (2)计算：∠BAC＝________°. 2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△DEC. (1)请在图中画出点A运动到点D过程中点A的轨迹； 第2题图 (2)计算：点A运动的路径长为________． 3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，E为AB边的中点，点F在AD边上运动，将△AEF沿EF翻折，点A对应点为A′. (1)请在图中画出在点F从A运动到D过程中点A′的轨迹； 第3题图 (2)计算：点A′运动的路径长为________． 方法二　定弦定角作圆(含直角对直径) 方法归纳 条件：如图，在△ABC中，∠C为定角(∠C＝α)，所对的弦AB长度固定． 情形1：∠C为直角 动点轨迹：如图①，点C在以点O为圆心，AB为直径的圆上运动(不包含点A，B)； 图① 情形2：∠C为锐角 动点轨迹：如图②，点C在以点O为圆心，圆心角为2α的优弧上运动(O，C在AB同侧，不包含点A，B)； 图②　 情形3：∠C为钝角 动点轨迹：如图③，点C在以O为圆心，圆心角为(360°－2α)的劣弧上运动(O，C在AB异侧，不包含点A，B). 图③ 4. 已知正方形ABCD. (1)如图①，点P为正方形内一动点，若∠BPC＝90°，请在图中画出点P运动时圆的草图； 第4题图① (2)如图②，点P为正方形外一动点，若∠BPC＝45°，请在图中画出点P运动时圆的草图； 第4题图② (3)如图③，点P为正方形外一动点，若∠BPC＝135°，请在图中画出点P运动时圆的草图． 第4题图③ 方法三　四点共圆 方法归纳 情形1：如图①②，在以A，B，C，D四点构成的四边形中，∠ACB＝∠ADB＝90°. 图① 图② 【结论】点A，B，C，D在以AB为直径的圆上． 【依据】直径所对的圆周角为90°. 情形2：如图③，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADB＜90°. 图③ 【结论】点A，B，C，D在同一个圆上． 【依据】同弧所对的圆周角相等． 5. 如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ADB＝∠ACB＝90°，连接CD，∠ABC＝55°，若求∠CDB的度数． (1)请在图中画出解题所需辅助圆的草图； 第5题图 (2)∠CDB＝________°. 6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是平面内一点，且∠CDB＝∠A，若求点D所在圆的半径． (1)请在图中画出解题所需辅助圆的草图； 第6题图 (2)该辅助圆的半径为________． 二、利用辅助圆求最值 方法一　点圆最值 方法归纳 已知：点E为⊙O上一动点，D为平面内不在⊙O上的一点． 计算：DE的最大、最小值． 　 作辅助线：作直线OD交⊙O于两点E′，E″. 　 【结论】DE′即为DE的最小值，DE″即为DE的最大值． 【依据】直径是圆中最长的弦． 7. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E为BC边上的一点，F为矩形ABCD内一点，且BE＝EF＝1. (1)请在图中画出使得DF值最小的点F的位置； 第7题图 (2)线段DF的最小值为________． 方法二　线圆最值 方法归纳 已知：点Q为⊙O上一动点，直线l在平面内且不与⊙O相切． 计算：点Q到直线l距离的最大、最小值． 　 作辅助线：作过点O且垂直于l的直线，交⊙O于Q′，Q″两点，交直线l于点M. 　 【结论】当直线l与⊙O相交时，点Q到直线l距离的最小值为0，最大值为Q″M；当直线l与⊙O相离时，点Q到直线l距离的最小值为Q′M，最大值为Q″M. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，E是△ABC外一动点(点B，E位于AC异侧)，∠AEC＝120°. (1)请分别在图中画出点E到AB，AC边距离最大的位置时点E1，E2的位置； 第8题图 (2)点E到AB边的距离最大值为________；点E到AC边的距离最大值为________． 9. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，BC＝4，P是平面内一点，且∠BPC＝90°. (1)请在图中画出点P到AD距离最小时点P的位置P′； 第9题图 (2)点P到AD的最小距离为_____