第05讲 正余弦定理解三角形（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 第05讲 正余弦定理解三角形（精讲） ①余弦定理 ②正弦定理 ③判断三角形形状 ④解三角形面积问题 ⑤正余弦定理的综合应用 一、余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ；； 二、利用余弦定理解三角形 （1）解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （2）余弦定理在解三角形中的应用 ①已知三角形的三边解三角形 连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角. ②已知两边和它们的夹角解三角形 用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角. ③已知两边及其中一边的对角解三角形 例如：已知及角,可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程,根据解一元二次方程的方法,求边,然后应用余弦定理和三角形内角和定理,求出其他两个角. 三、正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 四、三角形面积公式 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【常用结论】 1.解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2.（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边” （2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 题型一：余弦定理 解题策略 1.已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出的两边的夹角,还是其中一边的对角.若是给出的两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出的两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三条边. 2.已知三边解三角形的步骤 (1)分别用余弦定理的推论求出两个角. (2)用三角形内角和定理求出第三个角. 【例1】中，，则（    ） A． B． C．7 D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意，. 故选：C. 【例2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则B等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，设,利用余弦定理求解. 【详解】解：在中，， 设, 由余弦定理得， 因为，所以，故选：C 【例3】的三内角所对边分别为，若，则角的大小（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】解：由余弦定理得， 因为，所以.故选：B 一、单选题 1．（2024·全国·高一假期作业）在中，已知，则角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高一假期作业）在中，若，则角的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高一假期作业）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·高一假期作业）设内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边（    ） A．1 B．2 C．1或2 D． 5．（2024·全国·高一假期作业）在中，，，，则最长边（    ） A． B． C．或 D． 6．（2024·全国·高一假期作业）在中，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2024·全国·高一假期作业）已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ） A． B． C．3 D． 8．（2024·全国·高一假期作业）钝角的内角、、的对边分别为、、，若，，且，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（2024·上海·高一假期作业）在中，已知，且，则的值为 . 10．（2024·上海·高一假期作业）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则的值为 . 11．（2024·全国·高一假期作业）已知中，角的对边分别为，，则角