广东省深圳外国语学校（龙华）2024届高三数学寒假作业（四）

广东省深圳外国语学校（龙华）2024届高三数学寒假作业（四） 1. 已知，且，，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是单位向量，且它们夹角是.若，且，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 3或 4. 为了研究我国男女性的身高情况，某地区采用分层随机抽样的方式抽取了100万人的样本，其中男性约占､女性约占，统计计算样本中男性的平均身高为，女性的平均身高为，则样本中全体人员的平均身高约为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是等差数列，是它的前项和，，则（ ） A. 100 B. 101 C. 110 D. 120 7. 已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 8. 设定义在上函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 函数的图象关于点对称 C. 点（其中）是函数的对称中心 D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 当时，曲线表示双曲线 B. 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 C. 当时，曲线表示圆 D. 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是解析数论的创始人之一．他提出了著名的狄利克雷函数：，以下对的说法正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. 存在是无理数，使得 D ，总有 12. 在中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若为偶函数，则___________.（填写符合要求的一个值） 14. 在的展开式中，的系数为__________. 15. 抛物线的焦点坐标为，则的值为__________. 16. 小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知数列满足，数列满足，记为数列的前项和. （1）是否存在，使为等比数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由； （2）求. 18. 在中，是的平分线，，求： （1）的长； （2）的面积. 19. 如图，在三棱柱中，平面平面. （1）若分别为的中点，证明：平面； （2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值. 20已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短半轴长为. (1)求C的标准方程； (2)若不过坐标原点O的直线l与C交于A，B两点，延长线段AO，BO与C分别交于点M，N，若直线AM，BN的斜率之积为－，证明：四边形ABMN的面积为定值． 21. 魔方是民间益智玩具，能培养数学思维，锻炼眼脑的协调性，全面提高专注力、观察力、反应力.基于此特点某小学开设了魔方兴趣班，共有100名学生报名参加，在一次训练测试中，老师统计了学生还原魔方所用的时间（单位：秒），得到相关数据如下： 间 人数 年级 低年级 2 8 12 14 4 高年级 10 22 16 10 2 （1）估计这100名学生这次训练测试所用时间的第78百分位数； （2）在这次测试中，从所用时间在和内的学生中各随机抽取1人，记抽到低年级学生的人数为，求的分布列和数学期望. 22. 已知函数. （1）求的极值； （2）对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 论求解. 寒假作业（四）答案 1. 【答案】B 详解】由，则， 故， 则. 故选：B. 2. 【答案】C 【详解】或， ，则， 3. 【答案】D 【详解】，即， 解得或. 4. 【答案】C 【详解】样本中全体人员的平均身高约， 故选：C 5. 【答案】A 【详解】幂函数在上