专题1-2相交线与平行线之“铅笔模型”（考题猜想，考点透视+典例剖析+考点练兵30题）-2023-2024学年七年级数学下学期期中考点大串讲（人教版）

专题1-2相交线与平行线之“铅笔模型”（考点透视+典例剖析+考点练兵30题） 一、“铅笔”模型 从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图： 那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。 模型结论：∠B+∠E+∠D=360° 二、模型证明 如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360° 证明一：如图，过点E作FG//AB ∵ AB//FG，AB//CD ∴ FG//CD ∵ AB//FG ∴ ∠BEF+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ FG//CD ∴ ∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360° ∴ ∠B+∠D+∠BED=360° 证明二：如图，连接BD， ∵ AB//CD ∴ ∠ABD+∠BDC=180° 在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180° ∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360° ∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360° ∴ ∠ABE+∠E+∠CDE=360° 证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。从前面学过的猪蹄模型和这里的铅笔头模型我们都能看出，最简单的方法就是过点E作平行线，利用平行线的性质得到结论。 三、猪蹄模型和铅笔头模型关系 1、将猪蹄模型转化为铅笔头模型 ABEDC为猪蹄模型，FBEDG为铅笔头模型由猪蹄模型可得，∠ABE+∠CDE=∠BED ∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180° ∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴ 180°-∠FBE+180°-∠GDE=∠BED ∴ ∠FBE+∠GDE+∠BED=360° 2、将铅笔头模型转化为猪蹄模型 ABEDC为铅笔头模型，FBEDG为猪蹄模型由铅笔头模型得， ∠ABE+∠BED+∠CDE=360° ∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180° ∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE ∴ 180°-∠FBE+∠BED+180°-∠GDE=360° ∴ ∠FBE+∠GDE=∠BED 【例1】．（2023春•炎陵县期末）如图所示，，，，试求的度数． 【例2】．（2023春•禅城区期中）如图，已知直线，与、分别交于点、，动点在直线上且不与点、重合．点在上，且位于点的左侧，点在上，已知，，． （1）当点在点的左侧时， ①点在图1的位置时，若，，求的度数． ②点在图2的位置时，试说明，，之间的关系． （2）当在右侧，且时，请直接写出，，之间可能的关系． 【例3】．（2023春•武汉期末）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系； （3）如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值． 【例4】．（2023春•巴南区月考）已知直线，点、分别在直线、上，点在直线和之间． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，点在直线上，且，求证：； （3）如图3，平分，平分，且．若，直接写出的度数． 一．选择题（共8小题） 1．（2023春•新化县期末）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中，测得，，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．（2023春•龙山县月考）如图，，那么　　 A． B． C． D． 3．（2022春•海陵区期末）如图，、分别在、上，为两平行线间一点，那么　　 A． B． C． D． 4．（2022春•张北县期末）如图，已知，，，则等于　　 A． B． C． D． 5．（2022春•交口县期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于　　度 A．360 B．180 C．250 D．270 6．（2022春•陆河县期末）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，，则以上结论正确的是　　 A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 7．（2022春•青秀区校级期中）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则下列说法正确的是　　 ①； ②若，则； ③如图（2）中，若，，则； ④如图（2）中，若，，则． A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 8．（2022春•郯城县期末）将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共12小题） 9．（2023春•高安市期中