2024年中考 数学专题提升训练31 与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系 1. 如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，若AB＝10，BO＝8，以点O为圆心，r为半径作圆． (1)若r＝4.8，则点A与⊙O的位置关系是________，直线AB与⊙O的位置关系是________； (2)若r＝6，则点A与⊙O的位置关系是________，直线AB与⊙O的位置关系是________； (3)若r＝4，则点A与⊙O的位置关系是________，直线AB与⊙O的位置关系是________． 第1题图　　 2. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C的切线交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD，交DC的延长线于点E. 第2题图 (1)若AC＝8，BC＝6，则⊙O的半径为________； (2)若∠CAB＝30°，则∠CAE＝________，∠BCD＝________； (3)若BD＝2，CD＝4，则⊙O的半径为________； (4)若tan ∠BAC＝，CD＝4，则BD的长为________． 3. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AB，OA，OB，PO，PO交⊙O于点C，交AB于点D，∠OAB＝30°. 第3题图 (1)∠APB的度数为________； (2)若OA＝4，则OP的长为________． 4. 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F. 第4题图 (1)连接DE，EF，若∠A＝60°，则∠DEF的度数为________； (2)若AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为________． 知识逐点过 考点1 　点、直线与圆的位置关系 1. 点与圆的位置(r为⊙O的半径，d为点到圆心的距离) 点在圆外 d＝OA①________r 点在圆上 d＝OB②________r 点在圆内 d＝OC③________r 2. 直线与圆的位置关系(r为⊙O的半径，d为圆心到直线的距离) 位置关系 相离 相切 相交 d与r的关系 d④______r d⑤______r d⑥______r 交点的个数 没有公共点 有且只有一个公共点 有两个公共点 示意图 考点2 　切线的性质及判定 概念 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点 性质 圆的切线⑦________于过切点的半径 判定 1. 与圆只有一个交点的直线是圆的切线(定义)； 2. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(定理)； 3. 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 考点3 　切线长及切线长定理 图示 切线长 在经过圆外一点的圆的切线上，这点与⑧________之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长 切线长 定理 从圆外一点可以引圆的⑨______条切线，它们的切线长⑩________，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，则有PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝∠APB(探索并证明切线长定理※选学) 考点4 　三角形的内切圆 概念 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆 性质 三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离⑪________ 角度关系 如图，⊙O是△ABC的内切圆，则∠BOC＝90°＋∠A 【温馨提示】 1．三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，即三角形的内心； 2．直角三角形内切圆的半径为r＝(a＋b－c)(a，b为直角边，c为斜边) 教材原题到重难考法 与切线有关的证明及计算 例　 如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.求证：AT是⊙O的切线． 　例题图 变式题 1. 添加切线DE证线段关系 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，连接AD.求证：AE＝DE. 　第1题图 2. 改变E点位置求直径 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是AC的中点，以AB为直径的⊙O与BC边交于点D，连接AD，DE.若AD＝6，DE＝5，求⊙O的直径． 　第2题图 3. 切线结合等腰三角形 如图，以AB为直径的⊙O与△ABC相切于点A，斜边BC交⊙O于点D，E为⊙O上一点，连接AE并延长交BC于点F，AB＝BF，连接AD，BE. (1)求证：∠ABE＝∠FAC； (2)若⊙O的半径为5，sin ∠FAC＝，求DF的长． 　第3题图 真题演练 命题点 与切线有关的证明与计算 1. 如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD. (1)求证：直线CD与⊙O相切； (2)如图②，记(1