1.1.4等腰三角形 课件 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

1.1.4 等腰三角形 1.等腰三角形的判定？ 有两个角相等的三角形是等腰三角形. A B C 2.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 3.一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？ 复习回顾 探究活动 A B C 已知：如图，∠A= ∠ B=∠C. 求证： AB=AC=BC. ∵ ∠A= ∠ B, ∴ AC=BC. ∵ ∠ B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 证明： 猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形. 证明： 总结归纳 三个角都相等的三角形是等腰三角形. 等边三角形的判定定理1： 在△ABC中， ∵ ∠A =∠B=∠C, 应用格式： ∴AB=AC=BC(等角对等边). A C B 探究活动 2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. A B C 已知： 若AB=AC ，∠A= 60°. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °. ∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°. ∴∠A= ∠ B=∠C. ∴AB=AC=BC. 这个角可能是什么角？ 证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(等边对等角)， ∴∠A=60°(三角形内角和定理)． ∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°．求证:△ABC是等边三角形． A C B 60° 总结归纳 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 等边三角形的判定定理2： 在△ABC中， ∵ ∠A =60°, AB=AC 应用格式： ∴AB=AC=BC(等角对等边). A C B 在△ABC中， ∵ ∠B =60°或∠C =60°, AB=AC ∴AB=AC=BC(等角对等边). 例题讲解 A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 【例1】如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形. 变式练习 变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由. A C B D E 如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：△ADE是等边三角形. 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°. ∵ AD=AE, ∴ △ADE是等腰三角形 ∴ △ADE是等边三角形. 又∵ ∠A=60°. 探究活动 操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？ 30° 30° 你能说出所拼成的三角形的形状吗？ 猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 30° 30° 30° 30° 30° 结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半. 含30°角的直角三角形的性质 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°. 求证：BC= AB. A 30° B C 分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 猜想验证 30° 30° ∵ ∠ACB=90°, (已知) ∴∠ACD=90°，(平角意义) 在△ABC与△ADC中， BC=DC，（作图） 　∠ACB=∠ACD，（已证） AC=AC，（公共边） ∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AD=AB ∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，(已知) ∴∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形，(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形) ∴BC= BD= AB． (等式性质) 30° A B C D 证明: 延长BC至D，使CD=BC，连接AD， 定理：在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言： 在△ABC中, ∵∠ACB=90°,∠A=30°． ∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半) A B C 30° 推论： 归纳总结 例题讲解 C B A D 【例2】如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB=15°, CD是腰AB上的高，求CD的长. 解：∵∠B=∠ACB=15°，(已知) ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°， ∵∠ADC=90°，∴CD= AC=a． （在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半） 例题讲解 【例3】