1.1.3等腰三角形 课件 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

1.1.3 等腰三角形 等腰三角形有什么性质？ 1.等腰三角形的两底角相等．简写成“等边对等角”） A B C ∵AB=AC(已知) ∴∠B=∠C(等边对等角) 2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合一”） 复习回顾 探究活动 前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，那么反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 已知：在△ABC中，∠B=∠C， 求证：AB=AC． A B C A B C 证明：作 AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADB =∠ADC = 90°， 又∵∠B =∠C，AD = AD， ∴△ADB ≌ △ADC（AAS）， ∴AB = AC. D 总结归纳 有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”). 等腰三角形的判定定理： 在△ABC中， ∵∠B=∠C, 几何语言： ∴AB=AC(等角对等边). A C B 探究活动 A B C D 2 1 ∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC （等角对等边）. ∵∠1=∠2, ∴ DC=BC A B C D 2 1 （等角对等边）. 错，因为都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图,下列推理正确吗? 例题讲解 【例1】已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. A B C D E 证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA， ∴△ABD≌△DCA(SSS), ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）, ∴AE=DE(等角对等边）, ∴ △AED是等腰三角形. 例题讲解 【例2】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是 AB，AC上的点，且DE∥BC. 求证：△ADE为等腰三角形. 证明 ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C. 又∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴ ∠ADE=∠AED. ∴△ADE为等腰三角形. 想一想 小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC. A B C 探究活动 C A B 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时， AB与AC要么相等，要么不相等. 假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C, 但已知条件是 ∠B≠∠C. “∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC. 小明是这样想的: 你能理解他的推理过程吗? 总结归纳 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法． 证明 【例3】用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC． 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角． 【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A,∠B,∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾． 证明 证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角， 不妨设∠A=∠B=90°， 则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角． 探究活动 现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数? 108° 36° 90° 1.如图所示，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 随堂练习 D 随堂练习 2.如图所示，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，且∠ABD=∠ACE，求证BF=CF. 证明：连接BC， ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. ∵∠ABD=∠ACE, ∴∠FBC=∠FCB, ∴FB=FC. 随堂练习 3.如图所示，在△ABC中，BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证△DBE是等腰三角形. 证明:∵BA=BC,∴∠A=∠C. ∵DF⊥AC ∴∠C+∠FEC=90°,∠A+∠D=90°. ∴∠FEC=∠D. ∵∠FEC=∠BED,∴∠BED=∠D. ∴BD=BE,即△DBE是等腰三角形. $$