1.1.2等腰三角形 课件 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

1.1.2 等腰三角形 C A B D 等腰三角形有什么性质？ 顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 底角的角平分线 腰上的中线 腰上的高 C A B C A B C A B E F N M Q P 每组的两条线段有什么关系？ 你能证明吗？ 复习回顾 猜想 等腰三角形两个底角的角平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等. C A B C A B C A B E F N M Q P 探究活动 已知：如图，在△ABC 中， AB = AC，BD、CE 是△ABC 的角平分线. 【例1】证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. 求证：BD = CE. 证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）. ∵BD,CE分别平分∠ABC 和∠ACB ∴ ∠1＝∠2. 在△BDC和△CEB中， ∠ ACB＝∠ ABC, BC=CB, ∠1＝∠2, ∴△BDC≌△CEB (ASA). ∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）. 探究活动 你还能用其他方法证明吗？ 探究活动 又∵CN= ，BM= ， 【例2】证明: 等腰三角形两腰上的中线相等. BN=CM． 求证： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BN、CM是△ABC两腰上的中线． 证明： ∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. ∴CN =BM． 在△BMC与△CNB中， ∵ BC=CB，∠NCB=∠MBC，CN=BM， ∴△BMC≌△CNB（SAS）． ∴BN=CM. A C B N M 探究活动 【例3】证明: 等腰三角形两腰上的高相等． BP=CQ． 求证: 已知：如图,在△ABC中，AB=AC，BP、CQ是△ABC两腰上的高． 证明： ∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. 在△BMC与△CNB中， ∵ BC=CB,∠QBC=∠PCB, ∠BQC=∠CPB， ∴△BQC≌△CPB（SAS）． ∴BP=CQ. A C B P Q 还有其他的结论吗? 探究活动 A C B D E 1.已知:如图，在△ABC中，AB=AC. （1）如果∠ABD= ∠ABC ，∠ACE= ∠ACB， 那么BD=CE吗? 为什么？ （2）如果∠ABD= ∠ABC ，∠ACE= ∠ACB 呢? 由此你能得到一个什么结论? 过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等. BD=CE BD=CE 如果∠ABD= ∠ABC ， ∠ACE=∠ACB ， 那么BD=CE吗? BD=CE 探究活动 2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC. (1)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗? 为什么？ A C B D E BD=CE (2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE 由此你能得到一个什么结论? (3)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE 两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等. 这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法. 探究活动 命题： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 可以利用等腰三角形的性质进行证明. 怎样证明这一命题？ 想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？ 探究活动 已知：如图，在△ABC中， AB=AC=BC． 求证：∠A=∠B=∠C=60°． A C B 证明：在△ABC中， ∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角). 同理∠A=∠B． 又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)， ∴∠A=∠B=∠C=60°． 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 定理： 随堂练习 1.下列关于等边三角形的说法，正确的有( ) ①等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都是60°； ②三边相等的三角形是等边三角形； ③三个内角相等的三角形是等边三角形； ④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． A．①②③　　 　B．①②④ C．②③④ D．①②③④ D 随堂练习 2.如图，△ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝ ，∠CBD＝ ． 3．如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝ ．　　　 4．如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝ 30° 90° 3 75° 等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质： 底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等. 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 课堂小结 $$