第7章末总结 （七）复数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

章末总结　(七)复数　　　　　► 对应学生用书P63

　高频考点聚焦

考点一　复数的相关概念

解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的相关概念问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部应满足的方程(组)即可．

(2)解题时一定要先判断复数是不是a＋bi(a，b∈R)的形式，再确定实部和虚部.

例1.(2023·广东广州高一检测)已知复数z＝(m2－m－2)＋(m2－4)i(其中m∈R，i为虚数单位)，在①z>0；②z为纯虚数；③z的实部与虚部相等．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．

(1)若________，求实数m的值；

(2)若复数z－m2(1＋i)＋1的模为5，求实数m的值．

解：(1)若选①，因为z>0，则解得m＝－2；

若选②，因为z为纯虚数，则解得m＝－1；

若选③，因为z的实部与虚部相等，则m2－m－2＝m2－4，解得m＝2.

(2)因为z－m2(1＋i)＋1＝(m2－m－2)＋(m2－4)i－m2－m2i＋1＝(－m－1)－4i，

所以＝5，解得m＝2或m＝－4.

【练一练】

1．若复数z＝的实部与虚部相等，则实数a的值为(　　)

A．－3    B．－1

C．1      D．3

解析：选A.z＝＝＝，

因为复数z＝的实部与虚部相等，

所以2a＋1＝a－2，解得a＝－3.

2．设b∈R，复数z1＝－2＋bi，z2＝1＋i，若是纯虚数，则1的虚部为________．

解析：因为复数z1＝－2＋bi，z2＝1＋i，

所以＝＝＝，又是纯虚数，所以b＝2，

所以z1＝－2＋2i，所以1＝－2－2i，所以1的虚部为－2.

答案：－2

考点二　复数的几何意义

由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

例2.设复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x取何实数时：

(1)复数z为纯虚数；

(2)在复平面上表示z的点位于第三象限；

(3)表示z的点在直线x－2y＋1＝0上．

解：(1)由z为纯虚数，则

该方程组无解，所以复数z不可能为纯虚数．

(2)由表示z的点位于第三象限，则解得x∈(，4).

(3)由表示z的点在直线x－2y＋1＝0上，则log2(x2－3x－3)－2log2(x－3)＋1＝0，

解得x＝.

【练一练】

3．设复数z＝，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

解析：选B.复数z＝＝＝－2－i，

所以z的共轭复数＝－2＋i，

所以在复平面内z的共轭复数对应的点位于第二象限．

4．已知复数z1＝x2－1＋(x2＋3x＋2)i，z2＝x＋(3－2x)i，x∈R.

(1)若z1为纯虚数，求实数x的值；

(2)在复平面内，若z1对应的点在第四象限，z2对应的点在第二象限，求实数x的取值范

围．

解：(1)∵z1为纯虚数，∴解得x＝1.

(2)∵z1对应的点在第四象限，

∴解得－2<x<－1.

∵z2对应的点在第二象限，∴解得x<0.

综上得，实数x的取值范围为(－2，－1).

考点三　复数代数形式的四则运算

(1)复数的加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母，合并同类项化简即可．

(2)复数的除法运算是分子、分母同乘分母的共轭复数，即分母“实数化”．

例3.已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.

解：因为(z1－2)(1＋i)＝1－i，所以z1＝＋2＝2－i.

由题意可设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.

因为z1·z2∈R，所以a＝4，所以z2＝4＋2i.

【练一练】

5．若复数z满足z(1＋2i)＝2i－(1＋i)3，则＝(　　)

A．＋i      B．－i

C．－＋i    D．－－i

解析：选A.由题意可知，z(1＋2i)＝2i－(1＋i)3＝2i－2i(1＋i)＝2，

所以z＝＝＝＝－i，所以＝＋i.

6．(多选)已知复数z1＝＋(a2－2)i，z2＝1－ai(a∈R)，若z1＋2为实数，则(　　)

A．a＝1

B．z11＝

C.z为纯虚数

D．对应的点位于第二象限