7.3 复数的三角表示-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

7．3* 复数的三角表示　　　　　► 对应学生用书P59

[课程标准]　1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示．　2.了解复数的代数形式与三角表示之间的关系．　3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．

　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识

一、复数的三角形式

1．定义：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．

2．辐角的主值：我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z.

3．两个三角形式表示的复数相等的条件：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．

记一记：(1)三角形式r(cos θ＋isin θ)的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连．

(2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．

(3)复数0的辐角是任意的．

(4)任意一个不为0的复数z的辐角主值是确定的、唯一的．

二、复数三角形式的乘、除运算及几何意义

1．复数三角形式的乘、除运算法则

若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则

(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos__(θ1＋θ2)＋isin__(θ1＋θ2)]．

即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．

(2)＝＝[cos__(θ1－θ2)＋isin__(θ1－θ2)]．

即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．

2．复数三角形式乘法的几何意义

两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把

它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2，这是复数乘法的几何意义．

3．复数三角形式除法的几何意义．

两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把OZ1绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.

【基点小试】

1．复数1＋i化成三角形式，正确的是(　　)

A．2

B.2

C．2

D．2

解析：选B.r＝2，cos θ＝，复数对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝，

所以1＋i＝2.

2．复数z＝(cos 25°＋isin 25°)(cos 50°＋isin 50°)的三角形式是(　　)

A．cos (－25°)＋isin (－25°)

B．sin 75°＋icos 75°

C．cos 15°＋isin 15°

D．cos 75°＋isin 75°

解析：选D.z＝cos (25°＋50°)＋isin (25°＋50°)＝cos 75°＋isin 75°.

3．复数10表示成代数形式为____________．

解析：10＝10(－－i)＝－5－5i.

答案：－5－5i

4．计算：3÷2(cos ＋isin )＝________．(用代数形式表示)

解析：原式＝＝＝－i.

答案：－i

　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力

题型一　复数的代数形式与三角形式的互化　

角度1　复数的代数形式化为三角形式

 

例1.把下列复数的代数形式化成三角形式：

(1)＋i；

(2)－i.

解：(1)r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，所以cos θ＝，即θ＝，所以＋i＝2.

(2)r＝＝2，cos θ＝，又因为－i对应的点位于第四象限，所以θ＝.所以－i＝2.

[总结] 　复数的代数形式化为三角形式的步骤

(1)先求复数的模；

(2)决定辐角所在的象限；

(3)根据象限求出辐角；

(4)求出复数的三角形式．

角度2　复数的三角形式化为代数形式

例2.分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．

(1)4；

(2)(cos 60°＋isin 60°)；

(3)2.

解：(1)复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝.

4＝4cos ＋4isin ＝4×＋4×i＝2＋2i.