7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

7．2　复数的四则运算　　　　　► 对应学生用书P53

7．2．1　复数的加、减运算及其几何意义

[课程标准]　1.掌握复数加、减法的运算法则．　2.了解复数加、减运算的几何意义．

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一、复数加、减法的运算法则及加法运算律

1．加、减法的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，

则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．

2．加法运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).

记一记：对复数的加法、减法运算应注意以下几点

(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算．

特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．

(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．

(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．注意不一定是虚数，如(－i)＋i＝0.

二、复数加、减法的几何意义

如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是Z2Z1．

记一记：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．

【基点小试】

1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)

A．－1＋i    B．1－i

C．i         D．－i

解析：选A.(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.

2．在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1＝1，z3＝－2＋i，则z2＝(　　)

A．1＋i      B．1－i

C．－1＋i    D．－1－i

解析：选C.因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为z1＝1，z3＝－2＋i，所以由复数加法的几何意义可得z2＝z1＋z3＝1－2＋i＝－1＋i.

3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　)

A．    B．5    C．2    D．10

解析：选B.依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.

4．(2＋i)－(6－2i)＋(5＋6i)＝________．

解析：(2＋i)－(6－2i)＋(5＋6i)＝(2－6＋5)＋(1＋2＋6)i＝1＋9i.

答案：1＋9i

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题型一　复数的加、减运算

例1.计算：

(1)(5＋4i)＋(－3－3i)；

(2)(－i)＋(－i)＋(－＋i)；

(3)(3＋2i)－7i－(2－3i)；

(4)(0.5＋1.3i)－(1.2＋0.7i)＋(1－0.4i)；

(5)[(a－b)＋(a＋b)i]－[(a＋b)＋(a－b)i].

解：(1)(5＋4i)＋(－3－3i)＝5－3＋4i－3i＝2＋i.

(2)(－i)＋(－i)＋(－＋i)＝＋－－i－i＋i＝－i.

(3)(3＋2i)－7i－(2－3i)＝3－2＋2i－7i＋3i＝1－2i.

(4)(0.5＋1.3i)－(1.2＋0.7i)＋(1－0.4i)＝0.5－1.2＋1＋1.3i－0.7i－0.4i＝0.3＋0.2i.

(5)[(a－b)＋(a＋b)i]－[(a＋b)＋(a－b)i]

＝(a－b)－(a＋b)＋(a＋b)i－(a－b)i＝－2b＋2bi.

[总结] 　复数加、减运算的法则

(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．

(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．

【练一练】

1．计算：

(1)＋(2－i)－；

(2)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.

解：(1)＋(2－i)－＝＋i＝1＋i.

(2)∵z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，

∴z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.

题型二　复数加、减运算的几何意义

例2.如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：

(1)所表示的复数，所表示的复数；

(2)对角线所表示的复数；

(3)对角线所表示的复数及的长度．

解：(1)因为＝0－(3＋2i)＝－3－2i，

所以所表示的复数为－3－2i.

因为＝，

所以所表示的复数为－3－2i.